离散2-7-半群和群.ppt

-吴扬扬- * 主要内容： 半群同态 定义 性质 群 定义 判定定理 -吴扬扬- * §8.1 半群和独异点 3.半群同态（2） 其中: fx: S→S, ?y?S, fx(y)=x?y 性质 定理8.1.2 半群S, ? 与SS, o同态。 例3: 半群S, ?, 其中，S={a, b, c}, ?定义为： ? a b c a a b c b b c a c c a b 定义{a, b, c}, ?到SS, o同态映射 h: S→SS, ?x?S, h(x)=fx 即 h(a)=fa h(b)=fb h(c)=fc 其中, fa：S→S，fa(a)=a?a=a, fa(b)=a?b=b, fa(c)=a?c=c fb：S→S，fb(a)=b?a=b, fb(b)=b?b=c, fb(c)=b?c=a fc：S→S，fc(a)=c?a=c, fc(b)=c?b=a, fc(c)=c?c=b -吴扬扬- * §8.1 半群和独异点 3.半群同态（3） 定理8.1.3 任意独异点都同构于某一变换独异点。 即S, ?, e必与SS, o, Is的某个子独异点同构。 pp.159证明 其中: fa: S→S, ?b?S, fa(b)=a?b ∵ ?a, b?S, ?c?S, ∴ h(a?b)=h(a)oh(b) fa?b(c)=(a?b)?c 且faofb(c)= fa(fb(c))= fa(b?c)= a?(b?c) =(a?b)?c ∴ fa?b(c)= faofb(c) ∴ fa?b= faofb 故h是从S, ?到S, o的半群同态。 定理8.1.2：半群S, ? 与SS, o同态。 证明: 定义h:S→SS, ?a?S, h(a)=fa, * §8.2 群的定义及性质 1.群的定义 群: 设G, ?为独异点，如果?a?G, a都可逆，则称G, ?为群。 * ①结合律 ②有单位元 ③每个元素皆可逆 平凡群、阿贝尔群(可交换群) (pp.160) 例1：下列代数系统能否成为群，为什么？ ① I, + ② N, + ③ I, ? ④ Nm, +m ⑤ R,* R={0o, 60o, 120o, 180o, 240o, 300o}, *: ?a, b?R, a*b表示将平面图 绕形心连续旋转角度a和b, 旋转360回到原来状态。 * 0o 60o 120o 180o 240o 300o 0o 60o 120o 180o 240o 300o 0o 60o 120o 180o 240o 300o 60o 120o 180o 240o 300o 0o 120o 180o 240o 300o 0o 60o 180o 240o 300o 0o 60o 120o 240o 300o 0o 60o 120o 180o 300o 0o 60o 120o 180o 240o -吴扬扬- * §8.2 群的定义及性质 2.群的判定(1) 定理8.2.1 设G, ? 为半群，若满足下列条件，则G, ? 为群 (1) 有左单位元el，即?el?G,?a?G, el ? a=a； (2) 每个元素都有左逆元, 既?a?G, ?al?G, al ? a=el 证明: ?a?G, ∵ al?G ∴ 必有a’?G ,使a’?al=el ∵ a?el= =a’?el?(al?a) =a’?(al?a) =el?a =a ∴ el就是单位元 (2) 每个元素都有逆元 ∵ a?al =el?(a?al) =(a’?al)?(a?al) =a’?el?al =el ∴ al是a的逆元. 因此，G, ? 是群。 (每个元素都有左逆元) (1) 有单位元 el?(a?el) =(el?a)?el =((a’?al)?a)?(al?a) =(a’?(al?a))?(al?a) =a’?al -吴扬扬- * §8.2 群的定义及性质 2.群的判定(2) 定理8.2.2 设G, ?为半群, 若?a, b?G, 方程a?x=b和y?a=b都有解， 则G, ?为群。 证明: (1) G, ?有左单位元 取a?G, 则y?a=a的解为左单位元，记作：el