第1章 二维线性系统及其傅里叶分析2.ppt

1.7 傅里叶分析基础 恩格斯(Engels) 把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论. 他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗. 1.7.1 二维傅里叶变换 定义及存在条件 1.7.2 广义傅里叶变换 1.8 傅里叶变换的性质 3. 位移定理 Shifting 4. 帕色伐(Parseval)定理 Parseval定理的证明 5. 卷积定理 卷积定理的证明 利用卷积定理的例子 6. 相关定理 7. F.T.积分定理 可分离变量函数的变换 傅里叶变换的计算方法 1. 用定义直接计算: rect(x), circ(r) , ... 2. 用广义傅里叶变换的定义计算并求极限: 1... 3. 用傅里叶变换的性质间接导出: 1.9 常用傅里叶变换对 作业 1.3 二维线性系统与线性不变系统 线性系统具有叠加性质 2、脉冲响应和叠加积分 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合 1.3.2 二维线性不变系统 2-D Linear Shift-Invariant System 输入输出关系: 空域 线性不变系统的传递函数 传递函数－频率响应 传递函数——例 线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个激励所产生的响应的线性组合。 { } 输入 f1(x, y) 输出 g1(x, y) { } 输入 f2(x, y) 输出 g2(x, y) { } 输入 输出 利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数分解为简单的 “基元”函数的线性组合，则输出就是这些“基元”函数响应的线性组合。 光学系统可看成二维线性系统 常用 “基元”函数有d 函数、复指数函数等等。 系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而改变 系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。 系统对处于原点的脉冲函数的响应： h(x, y) = {d(x, y)} 系统对输入平面上坐标为(x,h)处的脉冲函数的响应： h(x, y; x,h) = {d (x-x, y- h)} 在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合 2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统的输出为脉冲响应函数的线性组合 根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质: 此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处的许多d 函数的线性组合.每个位于(x, h)的d 函数的权重因子是 f (x, h). 对于线性系统: g(x, y) = {f(x, y)} 叠加积分 只要知道各个脉冲响应函数, 系统的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如何求对任意点的脉冲d (x-x, y- h)的响应h(x, y; x,h) 对一般系统而言, 脉冲响应函数的形式可能是点点不同的 只有对一类特殊的系统—线性不变系统, h(x, y; x,h)= h(x-x , y-h) 成立, 分析可以得到简化. 则 h (x;1) ? h (x-1)=1 例如, 设 {d(x)}= h (x)=1 而 {d(x-1)}= h (x;1)= exp(-j2px) 脉冲响应函数h(x, y ; x, h )的求法: 设系统在 t = 0时刻对脉冲的响应为 h(t), 即: {d(t)}=h (t) 若输入脉冲延迟时间 t ,其响应只有相应的时间延迟t, 而函数形式不变, 即 {d (t - t )}=h (t - t ) 则此线性系统称为时不变系统. 系统的性质不随所考察的时间而变, 是稳定的系统. 时间轴平移了, 响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性. 一、定义 则此线性系统称为时不变系统. 系统的性质不随所考察的时间而变, 是稳定的系统. 时间轴平移了, 响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性. t t 0 d (t-t) t 0 d (t) 例：时不变(一维)系统 : RC电路 t h(t) 0 t h(t-t) t 0 线性不变系统 Linear Shift-Invariant System 实际物理系统大多可近似为平移不变系统. 一个二维脉冲函数在输入面上位移时, 线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即： {d(x-x, y-h)}=h (x-x, y-h) 线性不变系统的脉冲响应: 线性不变系统的输入-输出变换关系不随空间位置变化. 这样的系统称为二维线性不变系统。 h (