第4章 留数定理.ppt

§4.1 留数定理 孤立奇点的留数求解 例4：计算回路积分 解： 被积函数的奇点为 单位圆 ?z? = 1 内的奇点为 （为一阶极点） 补充：留数定理与柯西定理及柯西公式的关系 1) l内无奇点（f (z)在l内解析） 单连域柯西定理 P24 (2.2.1)式 2) l内只含一个一阶极点z0 3）l内只含一个(m＋1)阶极点z0 柯西积分公式 P29 (2.4.3)式 柯西公式的高阶导数公式 P30 (2.4.7)式 * * * * 第四章 留数定理 4.2 利用留数定理计算实变函数定积分 §4.1 留数定理 一、留数的定义 1.计算闭路积分 ① f (z)在l上及l内除z0点外解析 ② z0为 f(z) 的孤立奇点 积分遇到的困难：① f (z)的形式不清楚 ② l的形状不规则 R r z0 l l0 克服困难②的手段： 作辅助小圆 由复连通区域柯西定理： 克服困难①的方法： 将：f(z)在z0的去心邻域 0|z-z0|r 作洛朗展开 P28 (2.3.4) 和(2.3.5)式 2.留数的定义 若l为分段光滑的简单闭路（逆时针方向）， f (z)在l上及l内除z0点为孤立奇点外，处处解 析， 则 称为f (z)在z0点的留数(或残数) 记作： 显然，若z0点为 f(z) 的可去奇点，则 若l为光滑的简单闭路(逆时针方向)，f (z) 在l上解析，f (z)在l内除有限个孤立奇点b1，b2 ……bn外处处解析，则 l内所有孤立奇点留数之和 二、留数定理 证明：在l内作小圆：包住各个奇点 b1 bj l1 lj l ∵bj为孤立奇点 ∴可使得lj互不相交 f (z)在l,l1,……l n为边界的复连域内解析 由复连域柯西定理： 2）留数定理右侧是对f (z)在l内所有孤立奇点留数 取和，而不是对f(z)的全部孤立奇点的留数取和。 3）留数定理的关键是必须掌握各类奇点留数的计算 说明： 1）留数定理的意义：将解析函数的闭路积分归结 为对留数求和的代数运算。 三、留数的计算 由留数的定义： 求留数至少有三种途径： 之一： 积分法 之二： 洛朗展开 之三：不作洛朗展开而直接算出留数 除特殊情况外，前两种途径计算一般比较繁琐， 常用的是第三种途径。 1.可去奇点的留数 ∵ 若z0为f (z)的可去奇点 ∴ f(z)在z0的去心环域的洛朗展开式不含负幂次。 其中： 例如 ，z＝0是f (z)的可去奇点 2. 本性奇点的留数 只能由f (z)在z0的去心邻域上作洛朗展开 从中求出a-1 例如： 3. 极点的留数 1）若z0为f(z)的一阶极点 证明如下： 首先判断z＝1是f (z)的什么性质的奇点 孤立奇点 是极点 其中sin z在z=1点解析， 且sin z|z=1≠0 ∴z＝1是 的一阶极点（思考为什么是一阶极点？） 例 求Resf(1) 若 其中P (z)、Q (z)均在z0点解析， z0是Ｑ(z)的一阶零点， 计算极限的捷径：求导法。 可以表示为 这种特殊形式， 从而z0是f(z)的一阶极点，则 罗毕达法则 补充内容（不讲）： 解析函数的零点及其性质 1)定义：若g(z) 在 z0 点解析，且g(z0) ＝0， 则 称 z0 为 g(z) 的零点 例如：sin z 的零点是z k= kπ，k=0, ±1,±2…… 2) 零点的阶数 若z0为g(z)的零点，g(z)在z0点的泰勒展开为 则称z0为g(z)的m阶零点。 3）判断零点的方法 法一：利用零点阶数的定义（m较小） 若Φ(z) 在z0点解析，且Φ(z0)≠0 ，则z0是m阶零点。 法二：将函数g (z)在z0点的泰勒展开作变形 法三：通过求导找到第一个不为零的次方项 【例1】g (z) = sin z – z ，判断z=0是g(z)的几阶零点 【例2】g (z) = zez + z2cosz ，判断z=0是g(z)的几阶零点 3.解析函数的极点与零点的关系 若z0为f(z)的m阶极点 则 z0 为 的m阶零点。 4.判断f(z)极点阶数的方法 法二：借助函数倒数零点的阶数判断 法一：按定义判断（后面介绍） 补充完毕。 已知z=1是f(z)的一阶极点。 例1 求Resf(1)，n为正整数。 解： 已知z=1是f(z)的一阶极点。 分母因式分解 例1 不通过罗毕达法则，能否求解上述问题呢？ 解：套用(4.1.8)公式有： 求Resf(1)，n为正整数。 证明： 推论：z=1