第七讲：新数学的诞生.ppt

新数学的诞生 一、代数学的新生 1、近代代数学的进展 1、近代代数学的进展 一、代数学的新生 2、代数方程的可解性 2、代数方程的可解性 一、代数学的新生 3、群的发现 3、群的发现 二、几何学的变革 1、近代几何学的进展 1、近代几何学的进展 1、近代几何学的进展 1、近代几何学的进展 1、近代几何学的进展 二、几何学的变革 2、非欧几何的诞生 2、非欧几何的诞生 2、非欧几何的诞生 2、非欧几何的诞生 2、非欧几何的诞生 2、非欧几何的诞生 2、非欧几何的诞生 2、非欧几何的诞生 2、非欧几何的诞生 2、非欧几何的诞生 二、几何学的变革 3、射影几何的繁荣 3、射影几何的繁荣 3、射影几何的繁荣 3、射影几何的繁荣 3、射影几何的繁荣 二、几何学的变革 4、几何学的统一 4、几何学的统一 4、几何学的统一 4、几何学的统一 4、几何学的统一 二、几何学的变革 在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家麦比乌斯和普吕克开创了射影几何研究的解析（或代数）途径。麦比乌斯在《重心计算》(1827)一书中第一次引时了齐次坐标，这种坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它实际上是对笛卡尔坐标的推广。齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多射影几何基本结果的有效工具。 A. F. M?bius, 1790-1868 二、几何学的变革 1847年，施陶特出版《位置几何学》，提出方案，通过给每个点适当配定一个识别标记（也称坐标）来避免射影几何学对于长度概念的依赖，使之摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科。 K.G.C. von Staudt, 1798-1867 二、几何学的变革 施陶特还指出：射影几何的概念在逻辑上要先于欧几里得几何概念，因而射影几何比欧几里得几何更基本。 施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱（A. Cayley, 1821-1895）和普吕克的学生克莱因（F. Klein, 1849-1925）进一步在射影几何概念基础上建立欧几里得几何乃至非欧几何的度量性质，明确了欧几里得几何与非欧几何都是射影几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学辅平了道路。 1、近代几何学的进展 2、非欧几何学的诞生 3、射影几何学的繁荣 4、几何学的统一 二、几何学的变革 非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。 首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响。在此之前，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念。非欧几何的创始人无一例外的都对这种传统观念提出了挑战。 其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。19世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学， 二、几何学的变革 F. Klein, 1849-1925 1872年: 《爱尔朗根纲领》 几何学是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类。 二、几何学的变革 （欧几里得几何） 仿射几何 其他仿射几何 双曲几何 射影几何 （罗巴切夫斯基几何） 双重椭圆几何 （黎曼几何） 单重椭圆几何 抛物几何 并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。 一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱之中，……人类的一切探讨活动如果缺少数学上的说明和论证，那就不能称之为科学。 ——达·芬奇 宇宙这本书是用数学语言写成的。 ——伽利略 一、代数学的新生 二、几何学的变革 三、微积分的创立 1、近代代数学的进展 2、代数方程的可解性 3、群的发现 一、代数学的新生 F. Vieta, 1540-1603 韦达把符号性代数称作“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，