第五章 第三讲 向量的数量积.docVIP

第5章 第3讲 时间：60分钟　满分：100分 一、选择题(8×5＝40分) 1．(2011·东北三校第一次联合模考)设a，b，c是非零向量，下列命题正确的是(　　) A．(a·b)·c＝a·(b·c) B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2 C．若|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与b的夹角为60° D．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为60° 命题意图：考查平面向量的数量积的基本概念及运算律． 解析：对于选项A、B可用数量积定义判断，对于选项C、D可选用向量加、减法的几何意义，对于选项A显然错误，因向量的数量积不符合结合律．(a·b)c＝|a|·|b|·cosα·c，a·(b·c)＝a·|b|·|c|cosθ(其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角)(a·b)c是与c共线的向量．a·(b·c)是与a共线的向量． 对于选项B.|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝|a2|－2|a|·|b|cosθ＋|b|2，故B错． 对于选项C、D可用向量加、减法的几何意义．如图显然C不正确，D正确．对于选项D也可用下面方法证明． 设θ是a和b的夹角， ∵|a|＝|b|，∴|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝2|a|2－2a·b＝|a|2?cosθ＝，θ＝60°，故选D. 答案：D 2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－3)，则向量a与b的夹角等于(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：因为cosθ＝＝＝－， 且θ∈[0°，180°]，所以θ＝135°. 答案：D 3．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于(　　) A．－2 B．2 C. D．－ 解析：∵(a＋λb)⊥b，∴(a＋λb)·b＝0. ∴a·b＋λb2＝0.∴1＋2λ＝0.∴λ＝－. 答案：D 4．已知直线ax＋by＋c＝0与圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且△ABC的面积是，则·的值是(　　) A. B. C．± D．与a，b，c的值有关的数 解析：∵S△ABC＝＝×2×2sin∠ACB， ∴sin∠ACB＝. 在△ABC中，cos∠ACB＝±，代入 ·＝||||cos∠ACB＝±. 答案：C 5．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影为(　　) A. B．3 C．4 D．5 解析：∵a·b＝|a||b|cosθ， ∴|a|·cosθ＝＝.故选A. 答案：A 6．(2010·河北石家庄质检Ⅱ)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(cosφ，sinφ)，若θ－φ＝，则向量a与向量a＋b的夹角是(　　) A. B. C. D. 解析：以原点O为起点分别表示向量a＝，b＝，易知相应的终点A，B位于以原点O为圆心的单位圆上，以||、||为邻边作平行四边形OACB，则∠AOB＝，OA＝OB＝1，即平行四边形OACB是菱形，则∠COA＝，则＝a＋b，故a，a＋b的夹角等于，选B. 答案：B 7．(2010·江西南昌一模)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且＝2，若DE是圆A另绕圆心A运动的一条直径，则·的值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．不确定 解析：∵·＝(＋)·(＋) ＝(＋)·(－)＝2－2， 又＝2，|AB|＝1，∴|FA|＝. ∴2－2＝||2－||2＝－1＝－. 答案：B 8．(2010·重庆高三联考)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a、b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　) A．a⊥b B．a⊥(ab) C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b) 解析：依题意得|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，亦即t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有Δ＝(2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，故a·b－1＝0，即a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)，选C. 答案：C 二、填空题(4×5＝20分) 9．(2009·江西，13)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________. 解析：a－c＝(3－k，－1)，b＝(1,3)． ∵(a－c)⊥b. ∴1×(3－k)＋(－1)×3＝0?k＝0. 答案：0 10．(2010·浙江，文13)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|