第二学期线性代数B期末考试试卷谜底.doc

北 方 交 通 大 学 2002-2003学年第学期考试试卷答案 ，且的秩，则___________． 应填： 3．已知线性方程组 ___________． 应填： 4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则． 5．是正定二次型，则的取值范围是 ______________． 应填：二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】． . 必有一列元素全为0； . 必有两列元素成比例； . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； . 任意列向量是其余列向量的线性组合． 应选： 3．是矩阵，而且的行向量线性无关，则【 】． . 的列向量线性无关； . 线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关； . 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关； . 线性方程组有唯一解． 应选：． 4．矩阵是，，； ⑵ ，，； ⑶ ，，； ⑷ ，，； 肯定不属于的特征向量共有【 】． . 1组； . 2组； . 3组； . 4组． 应选：． 5．设阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】． . ； . ； . ； . ． 应选： 当、为何值时，线性方程组 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． 解： 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵： 所以，⑴ 当时，，此时线性方程组有唯一解． ⑵ 当，时，，，此时线性方程组无解． ⑶ 当，时，，此时线性方程组有无穷多组解． 此时，原线性方程组化为 因此，原线性方程组的通解为 或者写为 六．（本题满分10分） 已知，，求，，使得，，，线性无关． 解： 由于与的对应分量不成比例，所以与线性无关． 满足，，，线性无关的向量与有很多，例如我们可以取 ， 由于，所以，，，线性无关． 七．（本题满分10分） 设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零矩阵． ⑴. 如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为． ⑵. 如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似． 解： ⑴. 设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有 ． 所以， ， 但是，所以，但，所以． ⑵ 反证法：若矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得． 所以， 但是，，所以，所以，即．因此．这与相矛盾，因此矩阵不与对角矩阵相似． 八．（本题满分10分） 若二次型经正交变换后可变为标准形，求，．并求出该正交变换． 解： 的矩阵及标准形的矩阵分别为 ， ． 则有 ，即 由此得．而且矩阵的三个特征值分别为． 特征值对应的特征向量为 特征值对应的特征向量为 特征值对应的特征向量为 因此令： 因此所作的正交变换为 九．（本题满分10分） 设有5个向量 ，， ，． 求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量． 解： 对由构成的矩阵，进行行变换 由此可以看出，向量组，或者，或者，或者都可以作为向量组的极大线性无关组． 不妨取向量组作为极大线性无关组，则有 ，，． 2002-2003学年第二学期线性代数（B）期末考试试卷答案 第 1 页 共 6 页