考点21推理与证实.doc

温馨提示： 高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 【考点21】推理与证明 2009年考题 1.（2009江苏高考）设≥＞0,求证：≥. 【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。 证明： 因为≥＞0,所以≥0，＞0， 从而≥0， 即≥. 2.(2009山东高考)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立 【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为, （2）当b=2时，, 则,所以 . 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边= 所以当时,不等式也成立. . 由①、②可得不等式恒成立. 2008年考题 1、（2008安徽高考）设数列满足为实数 （Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是； （Ⅱ）设，证明：; （Ⅲ）设，证明： 【解析】（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即. 充分性：设，对任意用数学归纳法证明. 当时，. 假设当时，，则，且，. 由数学归纳法知，对任意成立. (Ⅱ) 设，当时，，结论成立； 当时，∵，∴. ∵，由（Ⅰ）知，∴且， ∴， ∴. (Ⅲ)设,当时，，结论成立； 当时，由(Ⅱ)知， ∴. ∴ . 2、（2008上海高考）已知数列：，，，（是正整数），与数列：，，，，（是正整数）． 记． （1）若，求的值； （2）求证：当是正整数时，； （3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100． 【解析】（1） ………………..2分 ∵ ………………..4分 （2）用数学归纳法证明：当 当n=1时，等式成立….6分 假设n=k时等式成立，即 那么当时， ………8分 等式也成立. 根据①和②可以断定：当…………………...10分 （3） ………………………..13分 ∵ 4m+1是奇数，均为负数， ∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分 此时，为100. …………………………18分 3、（2008浙江高考）已知数列，，，．记．． 求证：当时， （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）。 【解析】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明． ①当时，因为是方程的正根，所以． ②假设当时，， 因为， 所以．即当时，也成立． 根据①和②，可知对任何都成立． （Ⅱ）证明：由，（），得． 因为，所以．由及得， 所以． （Ⅲ）证明：由，得 所以， 于是， 故当时，，又因为， 所以． 4、（2008辽宁高考）数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（） （Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：． 【解析】（Ⅰ）由条件得 由此可得．猜测． 用数学归纳法证明： ①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即， 那么当n=k+1时，． 所以当n=k+1时，结论也成立． 由①②，可知对一切正整数都成立． （Ⅱ）． n≥2时，由（Ⅰ）知． 故 综上，原不等式成立． 5、（2008湖南高考） 数列 (Ⅰ)求并求数列的通项公式； (Ⅱ)设证明：当 【解析】(Ⅰ)因为所以 一般地，当时， ＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①-②得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 方法一： (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时， 方法二：令，则 所以当时，.因此当时， 于是当时， 综上所述，当时， 2007年考题 1.（2007北京高考）已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为. 若对于任意的，则称集合具有性质. （Ⅰ）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合； （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：； （Ⅲ）判断的大小关系，并证明你的结论. 【解析】（Ⅰ）集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是 ； （Ⅱ）首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为, 又因为当，所以当，于是