自动控制 第八章 体系定性分析 1.doc

第八章 系统的定性性分析 定性分析则是研究系统的一般特性。对此我们一点也不觉得陌生，因为在古典控制理论中我们对系统的稳定性这个很重要的一般特性，进行过较多讨论。在现代控制理论中，我们除了进一步讨论系统的稳定性之外，还要涉及一些新的概念，如能达性（Reachability）、能观性（Observability）；能控性（Controllability），能构性（Constructibility）；能稳定性（Stabilizability），能检测性（Detectability）等，对系统 对任何一个物理系统，都有运动的稳定性的问题。不稳定的系统在实践中是没有用的。所谓运动稳定性理论，就是研究某些确定的或随机的干扰作用对系统运动状态的影响，看其是否能耐受这种干扰的影响以保持预定的工作状态，从而建立一套准则来判别运动状态是稳定的或不稳定的。 在进行古典控制理论的学习时，就曾多次讨论过系统的稳定性问题时用劳思（Routh）判据、奈奎斯特（Nyquist）判据来分析线性系统的稳定性，我们已经相当熟练，但若系统是非线性的或是时变的，上述一些稳定性判据就显然有点爱莫能助，尽Nequist判据可用于某些特殊类型的非线性系统，但描述函数法对于确定系统的稳定性是近似的，而建立在相平面法基础之上的稳定性分析也只能用于低阶系统。 线性系统的响应总可以分解为零状态响应和零输入响应之和。习惯上对两种响应的稳定性分别研究。对于零状态响应，我们将介绍BIBO（Bounded-Input Bounded-Output，有界输入有界输出）稳定性；对零输入响应，我们将介绍限界稳定性和渐近稳定性。我们将主要讨论线性定常的情况。 8.1.1 BIBO稳定性的概念 首先回忆一下线性系统的输入输出时域描述。以单输入单输出的线性定常系统为例，其零状态输出响应可写作 (8.1.1) 其中是施加在系统输入端的激励信号，是在输入激励下系统输出端的响应信号；是系统的脉冲响应函数，对于一般的时变系统，脉冲响应函数是二元函数，表示τ时刻施加的输入在t时刻引起的响应，当系统是定常系统时，脉冲响应函数退化为单变量函数，表示初始时刻施加的理想脉冲输入在t时刻所引起的输出，而τ时刻施加的输入在t时刻引起的响应自当记为。当然，这样描述的系统必须是线性的、因果的、初始时刻松弛的。 再复习一下函数有界的概念。输入称作是有界的是指不会发展到正无穷或负无穷，或等价地说，存在一个常数um使得 定义8.1 系统称为BIBO稳定的（界输入有界输出稳定）是指：系统在每一个有界的输入信号激励下所引起的输出响应都是有界的。 该稳定性是定义在零状态响应之上，即仅当系统初始松弛时才能使用。 定理 8.1 线性定常的单输入单输出（SISO）系统(4.1.1)，BIBO稳定的充要条件是其脉冲响应函数在[0,+∞]上绝对可积，即存在某正常数M，使 证明：首先我们证明：如果是绝对可积的，则每一个有界输入都引起有界输出。设为一任意有界输入，即对所有t≥0有，则 所以输出是有界的。下面，我们从直观上来证明，若g(t)不是绝对可积的，则系统就非BIBO稳定。若g(t)不是绝对可积的，则存在t1使得 我们选择 显然u是有界的，而由此输入所引起的输出等于 它不是有界的，所以该系统不是BIBO稳定的，至此完成了对定理4.1的证明。 [证毕] 还要指出的是：函数绝对可积并不意味着有界，也不意味着当t→∞时趋于零。 8.1.2 BIBO稳定性的条件 定理8.2 由正则有理传递函数描述的SISO系统，BIBO稳定的充要条件是的所有极点都具有负实部，或等价地说，位于开左半s平面。 若有mi重极点pi，则其部分分式展开式中含有如下各项： 于是, 的拉氏反变换或脉冲响应式会有如下各项： 可以直接验证，每一个这样的模态绝对可积的充要条件是pi有负实部，用此事实我们可以建立上述定理。 【例8-1】若系统BIBO稳定且其传递函数为，试证明：当t→∞时 1．当输入为，输出响应趋于a； 2．当输入为，则输出响应趋于 证明：若t≥0时总有u(t) = a，则式(4.1.1)成为 其中g(t)是的拉普拉斯反变换，又因 它意味着，当t→∞时 这就证明了第一个结论。而当时，(4.1.1)成为 于是，我们有，当t→∞时 若g(t)是绝对可积的，我们可在拉氏变换分定义式中以j(替代s，从而得到 因脉冲响应g(t)是实函数，于是有 其中Re,In分别表示实部和虚部，将它们代入(4.1.1)得到 这就完成了所要的证明。 [证毕] 定理8.3 由状态空间方程描述的线性定常系统，BIBO稳定的充分条件是系统的所有特征值都具有负实部。  上一节我们讨论了系统的外部稳定性，即BIBO稳定性，它是定义在零状态响应之上的。现在我们来研究系统的内部稳定性，即由其