一道课本例题所联想的.docVIP

一道课本例题所联想的多角度探究思路及变式训练 东莞市 郭贵锋 【摘要】本文围绕着新课程理念，从分析课本例题入手，以问题为载体，开展多角度探究，剖析解题思路，渗透数学思想方法，并进行变式训练，培养学生的解题能力和求异思维，从而促进“学生全面、持续、和谐的发展”。 【关键字】探究 ；新课程 ；多角度 ；变式 张奠宙先生说过：“没有问题的数学教学，不会有火热的思考。”数学源于问题，问题是思维的起点。在课堂教学中，以学生合作讨论交流为前提，以教材为基础，以问题为载体，在教师的启发指引下，学生通过观察、猜测、推理、验证、交流等有效的数学活动，积极发挥自主能动性，经历数学知识的形成与应用过程，掌握方法，培养能力，达到举一反三，触类旁通的目的。 1.题目引入： 在本学期期末复习时，准备以课本例习题展开，其中以圆中的计算为考点引用九年级上册课本例题题目（2010－2011学年东莞市期末考试试题）: 如图1，BC为⊙O的直径，AB=6cm，AC=8cm，∠CAB的平分线AD交⊙O于D，连结CD、BD， 求BC、BD的长？ 分析 本题的考查知识点有：⊙O中直径所对的圆周角是； 勾股定理的计算；角平分线定义；等圆周角对等弧对等弦；学生通过以往的学习和习题的变式练习基本可解决。学生在做完此题后，觉得解题思路比较直接，计算量也不大。 此时老师提出：我们还有哪条边不知道呢？ 生答：AD边！ 师问：如何求AD的长？请大家一起想一想，看谁能更快更简捷地解决！ 2.解法展示： 在大家的集思广益下，呈现出此题解法的多样性和蕴涵的数学思想。 解法一： 如图2，过点B作BEAD于E, BC为⊙O的直径， ∴ , ∠CAB的平分线AD交⊙O于D， ∴，∴ , 同理可得， (第一小组有部分同学提出：如图3，过点C作CGAD于G,以同样的解法也可求得,效果异曲同工。) 思路入题分析：观察到图中有角，可通过作高构造两个直角三角形，其中有等腰直角三角形的特殊性质，可利用勾股定理或解直角三角形来解答,此题解法蕴涵了转化思想。 解法二：如图4，过点C作CGAD于G, ， ∴△DGC∽△BAC 思路入题分析：通过作高构造等腰三角形的同时，利用相似三角形得出对应边成比例从而解答，此题解法蕴涵了转化思想。 解法三：如图5，在AC边上截取AE=AB，易证明△ADE≌△ADB (SAS),可得:AE=AB=6,DE=BD=CD=,过点D作DFAC于F,由等腰三角形三线合一性质可得EF=CF=1,则AF=7, 解法四：如图6，在AB边的延长线上截取AE=AC，易证明△ADE≌△ADC (SAS),可得:AE=AC=8,DE=BD=CD=,过点D作DFAE于F,由等腰三角形三线合一性质可得EF=BF=2,则AF=7, 思路入题分析：由于有角平分线这一条件，通过作辅助线构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，再用解直角三角形解答，解法三蕴涵了分割思想，解法四蕴涵了补全思想。 解法五：如图7，过点D作DFAE于F, 过点D作DGAC于G,由AD平分∠BAC得DG=DB, 易证四边形AGDF是正方形和RT△CDG≌RT△EDF (HL)得出CG=EF，由AG=AF解得CG=EF=1, 则AF=7, 思路入题分析：由于有角平分线这一条件和角，两者结合从而构造得正方形，利用全等三角形解答，解法五蕴涵了特殊化思想。 解法六：如图8，利用图形旋转把△ACD绕点D旋转后得到△BDE ,△ACD≌△BDE得∠ACD＝∠BDE，由于∠ACD+∠ABD＝，故∠BDE+∠ABD＝，A、B、E三点线，AE=AB+BE=AE+AC=6+8=14, 思路入题分析：利用图形变换，得到全等三角形推出对应边、角相等，再转化为解直角三角形问题，解法六蕴涵了变换思想。 3.题目变式： 皮亚杰的认知发展理论认为，学习是一种能动的建构的过程。新课标强调要培养学生的自主探究能力，能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识和应变技巧。变式教学以现代理论为指导，以注重知识建构、提高变式能力，优化思维品质、培养创新精神为基本要求。因此，教师应遵行主体参与、探索创新等教学原则，深入研究教材中蕴涵的变式创新因素，通过学生积极自觉的认知结构，来激活、改变学生的原有的认知结构，从而培养学生的求异思维、创新意识和创造能力。 3.1基础变式 变式1、（延伸结论）(1)如图9，图中有哪些对相似三角形？试写出其中一对，并给予证明。 (2)试求四边形ABDC的面积。 变式2、（变条件1）如图10，把“∠CAB的平分线AD”改变为“△ABC的高AD交直径BC于E”，试探究四边形ABDC是什么图形？并说明理由。 变式3、（变条件2）如图11，把“∠CAB的平分线AD”改变为“△ABC的的中线AD交⊙O于D”，试探究四边形ABDC是什么图形？并说