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摘　要:中心极限定理在概率论与数理统计教学中占有重要的地位,本文阐述了独立同分布及独立不同分布中心极限定理的特例，并给出其在实际问题和统计分析中的有关应用. 关键词：中心极限定理　正态分布　随机变量 Abstract : The ce ntral limit t heorem ha s a n impo rtant sta tus in teaching the p ro bability theory and mat hematical stati stics. This paper expounds two special ca ses of the Levy2Lindebe rg Theo rem a nd gives releva nt applications of practice problems and statistics a nalyse. Key wor ds : central limit theorem; normal distribution ; random variable · 中心极限定理及其应用 1 引言 中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理.这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件. 中心极限定理有着有趣的历史.这个定理的第一版被法国数学家棣莫弗发现，他在1733年发表的卓越论文中使用正态分布去估计大量抛掷硬币出现正面次数的分布.这个超越时代的成果险些被历史遗忘，所幸著名法国数学家拉普拉斯在1812年发表的巨著 des 中拯救了这个默默无名的理论.拉普拉斯扩展了棣莫弗的理论，指出二项分布可用正态分布逼近.但同棣莫弗一样，拉普拉斯的发现在当时并未引起很大反响.直到十九世纪末中心极限定理的重要性才被世人所知.1901年，俄国数学家里雅普诺夫用更普通的随机变量定义中心极限定理并在数学上进行了精确的证明. 如今，中心极限定理被认为是(非正式地)概率论中的首席定理.具有有广泛的实际应用背景.在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很小总的影响可以看做是服从正态分布的.中心极限定理就是从数学上证明了这一现象.最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为50%的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李雅普诺夫等进行了推广和改进.自从1919-1925年间莱维系统的建立了特征函数理论起， 中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等.极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美.长期以来，对于中心极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展，同时新的中心极限定理问题也在实际中不断产生和发展. 2 中心极限定理的内容 2.1 棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理 设重伯努利试验中，事件在每次实验中出现的概率为，记为次试验中事件出现的次数，且记 = , 其中 . 则对任意实数，有 , 棣莫弗—拉普拉斯极限定理是概率论历史上的第一个中心极限定理，是专门针对二项分布的，因此称为“二项分布的正态近似”. 2.2 林德贝格——勒维中心极限定理 设是相互独立且同分布的随机变量序列，数学期望与方差都存在： , ， i=1，2，…… . 则对任意的，有 , 或者对任意的x有 = , 该定理表明：当n充分大时， 近似服从于正态分布. 2.3 李雅普诺夫中心极限定理 设是独立随机变量序列，数学期望和方差存在，分别为，，i=1，2，……，若存在，有 , i=1，2，…… , 且满足条件, 其中 ，i=1，2，…… , 则对任意实数x，有 ， 其中，i=1，2，…… . 2.4 三种中心极限定理之间的区别与联系 三种中心极限定理之间的区别： 在三种中心极限定理之中，林德贝格—勒维中心极限定理解决的是独立同分布下的问题，这里要求是独立同分布且数学期望与方差存在，在这里的分布不作具体要求，只要同分布即可.而相对于林德贝格—勒维中心极限定理而言，李雅普诺夫中心极限定理解决的是独立不同分布下的问题，同样要求（）数学期望和方差存在，不同的是对于来说，只要求独立，不要求同分布.棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理是概率论历史上的第一个中心极限定理，与林德贝格—勒维中心极限定理一样要求独立同分布，只是相对于林德贝格—勒维中心极限定理来