第七 种群竞争模型.docVIP

种群竞争模型 一.问题的提出 Causs根据实验分析，得出结论“吃同种食物的两种不同生物是不能长期共存的。”你如何理解这句话 这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠。 二.模型假设 1.假设种群密度相当。 2.假设种群个体都是健康的。 3.假设没有受自然灾害的影响，只是靠搞自身的竞争力 三.符号说明 以、表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻的数量， 1．?资源有限，设其总量为，分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量； 2．?种群数量的增长率与该种群数量成正比，同时也与有闲资源成正比； 3．?各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，分别表示甲、乙二种群对对方已占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头”。比方，若时，表示在乙种群看来，甲种群是“奢侈的”，它可以在甲种群用过的盘子里捡到“剩骨头”，若时，说明乙种群在食物选择上是“过分”挑剔的，或者可理解为，对于乙种群，甲种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，反映了甲、乙二种群适应能力，越小、越大，则甲种群的相对适应能力越强； 4．?分别表示甲、乙二种群的固有增长率。 四.模型建立 根据模型假设，可得如下数学模型： 经化简，得： 五.模型求解与分析 模型方程的解没有解析表达式，我们的兴趣和目的是：当充分大时，、的变化趋势怎样？利用平衡点的稳定性，对两种群的变化趋势可作出判断。令模型方程的右端项 ， 求解可得该模型的四个平衡点： 、、、。 1． 讨论平衡点的稳定性 为此，将微分方程 的右端函数以其在的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统 ， 此时系数矩阵，其两特征值按照上一节中判断平衡点稳定性的方法，计算得 ，，， 故是不稳定性的（结点）；这表明两种群不会同时灭绝。 2．?确定平衡点的稳定性 将微分方程 的右端函数以其在的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统 ， 此时系数矩阵为 ， 的两个特征值分别为： ， 按照判断平衡点稳定性的方法，计算得：当且仅当时，平衡点是（局部）稳定的；条件表示在消耗供养乙的资源中甲强于乙，此时，乙种群终将在竞争中灭绝，而甲种群能够一直存活下去并趋向于其最大容量。 3．?确定平衡点的稳定性 与2的讨论类似，可以得平衡点是（局部）稳定的充要条件为；条件表示在消耗供养甲的资源中乙强于甲，此时，甲种群终将要在竞争中灭绝，而乙种群能够一直存活下去。 4．?确定平衡点的稳定性 平衡点只有在第一象限内方有实际意义，为此应有同时大于“1”或同时小于“1”，采用类似2的分析，可以得到当同时大于“1”时，平衡点为一鞍点，是不稳定的；当同时小于“1”时，平衡点为一稳定的结点。表示在消耗供养甲的资源中乙弱于甲， 表示在消耗供养乙的资源中甲弱于乙，二者同时成立，于是二者共存，甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值