§5.1___定积分的概念与性质.ppt

返回 * * 例 用定积分表示下列极限: 解: 根据定积 分定义可得如下近似计算方法: 将 [a , b] 分成 n 等份: (左矩形公式) (右矩形公式) * 讨论定积分的近似计算问题. (梯形公式) 为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森公式, 复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用. * * 对定积分的补充规定 说明 五、定积分的性质 在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小． * 证 (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 性质1 * 证 性质2 性质1和性质2称为 线性性质. * 补充 例 (定积分对于积分区间具有可加性) 则 性质3 假设 的相对位置如何,上式总成立. 不论 * 证 性质4 性质5 如果在区间 则 * 解 令 于是 比较积分值 和 的大小. 例 * 性质5的推论1 证 如果在区间 则 于是 性质5 如果在区间 则 * 证 说明 性质5的推论2 性质5 如果在区间 则 可积性可由f(x)的可积性推出. 由推论1 * 证 (此性质可用于估计积分值的大致范围) 性质6 分别是函数 最大值及最小值. 则 * 解 估计积分 例 * 解 估计积分 例 * 例 试证: 证: 设 则在 上 , 有 即 故 即 * 证 由闭区间上连续函数的介值定理: 性质7(定积分中值定理） 如果函数 在闭区间 连续, 则在积分区间 至少存在一点 使下式成立: 积分中值公式 至少存在一点 使 即 * 定理用途 注 性质7(定积分中值定理） 如果函数 在闭区间 连续, 则在积分区间 至少存在一点 使下式成立: 无论从几何上, 还是从物理上, 都容易理解 平均值公式 求连续变量的平均值要用到. 如何去掉积分号来表示积分值. * 积分中值公式的几何解释 至少存在一点 在区间 使得以区间 为底边, 以曲线 为曲边的曲边梯形的 面积 等于同一底边而高为 的一个矩形的面积. 解： 函数的平均值= 由平均值公式 显然函数f(x)在区间[-2,2]上是连续的， * 3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用) 4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小. 六、小结 1. 定积分的实质: 特殊和式的极限. 2. 定积分的思想和方法: 以直代曲、以常代变. 四步曲: 分割、 取近似、 求和、 取极限. 思想 方法 * 思考与练习 1. 用定积分表示下述极限 : 解: 或 2 利用定义计算定积分 解 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积 为方便计，将 [0,1]n 等分，左侧取点 等比数列 * 作业 习题5-1(233页) 3. 6.(1) (3) 7. 8.(2)(4) 莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）, 是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家 和哲学家，一个举世罕见的科学天才。 他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。 莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的。他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。他曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。 数学方面的成就： 莱布尼兹在物理学方面的贡献也是非凡的。他发表了《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了