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NO.3课后练习 （练考题、验能力、轻巧夺冠！） (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．若两个球的表面积之差为48π，它们的大圆(过球心的截面)周长之和为12π，则这两个球的半径之差为(　　) A．1　　　　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 解析：　设两个球的半径分别为r1，r2，则有4πr－4πr＝48π，2πr1＋2πr2＝12π，解得r1－r2＝2. 答案：　B 2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 解析：　长方体的体对角线长为＝， 故球的半径为a. S球＝4π2＝6πa2. 答案：　B 3．64个直径都是的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则(　　) A．V甲＞V乙且S甲＞S乙 B．V甲＜V乙且S甲＜S乙 C．V甲＝V乙且S甲＞S乙 D．V甲＝V乙且S甲＝S乙 解析：　V甲＝64×π×3＝a3 S甲＝64×4π×2＝4πa2 V乙＝π×3＝a3 S乙＝4π×2＝πa2 V甲＝V乙，S甲＞S乙 答案：　C 4．已知高与底面直径之比为21的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积为(　　) A.π B.π C. D.π 解析：　设圆柱的底半径为r，高为h， 球的半径为R，则＝，h＝4r. V柱＝500π， πr2h＝500π，即πr2·4r＝500π， r3＝＝125，r＝5. 由圆柱内接于球知： R＝＝＝r， 即R＝5， V球＝πR3＝π(5)3，即V球＝π. 答案：　B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.(2010·湖北高考)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 解析：　设球的半径为r， 则V水＝πr2·8，V球＝πr3 πr2·8＋3×πr3＝πr2·6r r＝4. 答案：　4 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________． 解析：　如图，O1、O2分别为A1B1C1，ABC的中心，则球心O为O1O2的中点，球的半径为OA 各棱长均为a，OO2＝，AO2＝a. AO＝＝， 球的表面积S＝4π2＝πa2. 答案：　πa2 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm.求钢球的半径． 解析：　设钢球半径为R，则由题意，有π×32×8＋πR3＝π×32×8.5，解得R＝1.5(cm)． 答：钢球的半径为1.5 cm. 8.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ 解析：　要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥≥V半球，V半球＝×πr3＝×π×43， V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h. 依题意：π×42×h≥×π×43， 解得h≥8. 即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm， 高大于或等于8 cm时， 冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S圆锥侧＝Cl＝πrl＝πr 当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小， 所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料．  9．(10分)已知正三棱柱(底面是正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱)的底面边长为1，侧棱长为2，判断这样的一个三棱柱内能否放进一个体积为的球． 解析：　设已知球的半径为r，则πr3＝，解得r＝. 而与正三棱柱各侧面都相切的球的半径等于正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径，则边长为1的正三角形的内切圆的半径R＝×＝. ＞，不能放入一个半径为的球， 即不能放进一个体积为的球．