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第五章
第五节
定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积
二、立体体积
三、平面曲线的弧长
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一、定积分的微元法 y
y (f )x
面积表示为定积分的步骤如下:
[ ,a ]b
（1）把区间 分成 n个长度为
Δx 的小区间，相应的曲边梯形被
i o a b x
分为 n个小曲边梯形，第 i 个小曲边梯形的面积为ΔAi ，
n
A 则A Δ∑ i ；
i 1
（2 ）计算ΔA 的近似值 ΔA ≈( f )ξ Δx ，ξ ∈Δx ；
i i i i i i
n
A ≈f x (Δ ) .ξ
（3）求和，得A 的近似值 ∑i i
i 1
（4）求极限，得A 的精确值
n
b
A limf x ( ) ∑ ξ Δ f x (dx)
λ→0 i i ∫a
i 1
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简化 若用ΔA 表示任一小区间 y y (f )x
[ , ]x x +Δx 上的小曲边梯形的面积，
则 ，并取 ，
A A ∑Δ A Δf ≈( )x dx
o axx dx+ b x
于是
A f x dx≈ ( )
∑
b dA 面积元素
A limf x dx( ) ∑ f( x) dx.
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