2014高三数学复习专题——函数奇偶性.docx

高三数学一轮复习——函数的奇偶性函数的奇偶性、周期性是函数的重要性质，是高考命题热点之一，在考查时，常与其他性质(如单调性)综合在一起，从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主，一般为容易题，周期性与三角函数结合比较明显，但也常出现在抽象函数中，多为求值问题，以选择题或填空题形式出现．一、要点精讲1、函数的奇偶性的定义：对于函数定义域内定义域内任意一个，若有_____________ _____，则函数为奇函数；若有___________________，那么函数为偶函数.2、奇偶函数的性质：⑴定义域关于原点对称；⑵偶函数的图象关于轴对称；⑶奇函数的图象关于原点对称；⑷奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．⑸为偶函数．⑹若奇函数的定义域包含，则．3、判断函数奇偶性的途径：⑴ 依据图象的对称性进行判断．⑵ 依据常见函数奇偶性的结论进行判断．⑶ 运用定义法判断函数奇偶性，首先考虑定义域是否关于原点对称，其次看f(－x)是否等于－f(x)或f(x)．⑷对抽象函数奇偶性的判断，要注意挖掘函数“原形”，采用“赋值”等策略．　4、周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、基本训练1．下面四个结论中，正确命题的个数是( ）①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)A.1 B.2 C.3 D.4解:①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x∈(-a,a)〕.2．下列各函数中是奇函数的是（A）（B）（C）（D）3.已知函数是奇函数，当时，；当时，等于（A）（B）（C）（D）4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)＝(　　)A．－2 B．2C．－98 D．98 解：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 5．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________. 解：∵y＝f(x)为奇函数，∴f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1. 6.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( )A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析:由f(x)为偶函数，知b=0，有g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数.7、已知为偶函数，且定义域为，则=，=。解析:定义域应关于原点对称，故有a-1=-2a，得a=.要使f(-x)=f(x)恒成立，应b=0.三、典例解析考点一：函数奇偶性的判断1、判断下列函数的奇偶性⑴；⑵；⑶⑷；⑸⑹ f(x)＝解：（1）由得定义域为，∴奇(2)既是奇函数也是偶函数 （3）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．（4）∵ ∴为偶函数（5）分与两种情况（6）解：当x－1时，f(x)＝x＋2，－x1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)．当x1时，f(x)＝－x＋2，－x－1，∴f(－x)＝(－x)＋2＝－x＋2＝f(x)．当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，∴f(－x)＝0＝f(x)．综上可知，对于定义域内的每一个x都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2.（2010广东）若函数与的定义域均为R，则A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数解：D．．考点二：函数奇偶性的证明3、已知函数对一切，都有，⑴ 求证：是奇函数；⑵ 若，用表示．解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数．（2）由，及是奇函数，得．考点三：函数奇偶性的应用函数奇偶性常见的应用问题有：⑴ 利用奇、偶性求参数的取值或求代数式的值；⑵ 利用奇、偶性求函数解析式或化简解析式．4.（2010重庆）函数的图象A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称C. 关于x轴对称D. 关于y轴对称解：是偶函数，图像关于y轴对称5．(