数字逻辑技术CHAP1.ppt

数字逻辑设计-- 谨供授课教师参考 -- -- 欢迎批评指正 -- 清华大学计算机系 薛宏熙 xuehx@tsinghua.edu.cn 第1章 逻辑电路导论 【课前思考】 【学习指南】 1.1 开关电路数学表示方法初步 1.2 逻辑代数 1.3 用“与”门、“或门”和“非”门进行逻辑综合 1.4 公式法化简逻辑函数 1.5 卡诺图 1.6 逻辑函数的标准形式 1.7 *表格法化简逻辑函数 1.8 解题示例 【本章小结】 1.1 开关电路数学表示方法初步 例1.1 楼梯照明灯的控制电路 楼梯照明灯控制电路的真值表 真值表的要点 真值表中的 0 和 1 仅代表逻辑命题的真或假，不代表数值的大小。 设自变量的个数为n，则自变量取值的组合有2n种。真值表的行数为2n，每一行定义自变量在该种取值组合下函数的值。由此可以得出2个结论： （1）真值表可以唯一地定义一个逻辑函数，若函数 f与 g 的真值表相同，则 f 与 g 等价。 （2）当 n 的数值很大时，真值表的规模急剧增大，这是真值表的缺点。 真值表的习惯表示方法 输入变量的排序可由设计者任意指定，如果是变量组的话，可以采用升序，例如； 也可以采用降序，例如 2. 真值表的第1列（行号）是可有可无的，本书中有时加上行号是为了文字叙述的方便。 3. 输入变量取值的组合可以转换为对应的二进制数，可令此二进制数和行号对应起来。于是，输入变量取值的组合可以表示为m i ,其下标 i 恰是对应的行号。 例如，输入变量a, b取值为10时，可表示为m2。 分析与综合 分析（analysis）：由已知电路推导其电路的功能。 例 1.1 楼梯照明灯控制电路导出其功能表，是分析的过程。 引入真值表。 综合（synthesis）：由给定的功能描述推导其电路实现。 由真值表推导其电路实现，需要引入其它的数学工具， 逻辑代数（布尔代数）便是其中之一。 1.2 逻辑代数 英国数学家乔治·布尔（George Boole）提出了逻辑代数的基本形式和概念，将形式逻辑问题归结为一种代数运算，被人们称为布尔代数（Boolean algebra），即我们所说的逻辑代数。 1.2.1 逻辑代数的基本运算： “与”运算 逻辑代数（续） 1.2.1 逻辑代数的基本运算： “或”运算 逻辑代数（续） 1.2.1 逻辑代数的基本运算： “非”运算 逻辑代数（续） 1.2.1 逻辑代数的基本运算： 逻辑运算符的优先级 ： 逻辑运算符的优先级由高到低依次为：“非”→“与”→“或”。 在有括号的情况下，先括号内后括号外；先内层后外层。 与基本运算对应的逻辑门： 逻辑代数（续） 1.2.2 逻辑函数： 逻辑函数的表示方法 ： 真值表； 由变量、常量以及逻辑运算符构建的逻辑表达式 。 逻辑函数的等价性判断： 真值表形式具有唯一性：若函数 f 与 g 的真值表相同，则 f 与 g 等价。反之，二者不等价。 逻辑表达式不具有唯一性：若函数 f 与 g 的逻辑表达式相同，则 f 与 g 等价；反之，若函数 f 与 g 的逻辑表达式不同，则 f 与 g 可能等价也可能不等价。 逻辑代数（续） 1.2.3 逻辑代数的基本公式和运算规则： 逻辑代数的基本公式： 逻辑代数的基本公式（续） 逻辑代数的基本公式（续） 逻辑代数的基本公式（续） 上述公式具有对偶性： 把 a 组公式中的运算符“·”替换成“+”，把运算符“+”替换成 “·”，把常数 0 替换成 1，把常数 1 替换成 0，将得到 b 组的对应公式。 对 b 组中的公式作同样的替换，将得到 a 组的对应公式。 公式证明举例 【例1.2】 用真值表法证明公式（1- 9b）的正确性。 令等式两边的逻辑表达式分别用函数 f 和 g 表示： 公式证明举例（续） 【例1.3】 用公式法证明公式（1- 13a）的正确性。 【证】 逻辑代数的基本规则 对偶规则的应用 ： ① 设函数 f 的对偶式记作 f′，函数 g 的对偶式记作g′。若函数 f 与g 等价，则其对偶式 f′与 g′也等价。 ② 对函数 f 执行2 次对偶变换，将得到函数 f 本身。 代入规则： 对于一个已经成立的等式，若将其中某个变量 x 用另一个逻辑表达式 f 代替，则等式仍然成立。 分解规则： 香农展开定理（Shannon’s Expansion Theorem）可称为分解规则，即任何一