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第1章 插值法 1.1 引言 实验中常常碰到这样的问题：某一函数y = f(x)在一系列点（x0，x1，…，xn）处的值为（y0，y1，…，yn）(测量得出)。其中f(x)未知或f(x)知道，但是计算复杂，不便计算，我们就用较易计算的函数p(x)去近似代替f(x)。其p(x)满足p(xi)=y i(i=0，1，…，n)，此类问题就称为插值问题 一般地，设函数y = f(x)在区间[a，b]上有定义，且已知在a≤x0x1…xn≤b点上的值为y0，y1，…，yn，若存在一简单函数p(x)，使p(xi)=y i(i=0，1，…，n)，则称函数p(x)为f(x)的插值函数，点x0，x1，…，xn为插值节点，[a，b]为插值区间，求插值函数p(x)的方法称为插值法，若p(x)是次数不超过n的代数多项式，即 为实数，则称p(x)为插值多项式。 1.2 拉格朗日(Lagrange)插值 1.21线性插值与抛物插值 1. 线插（两点一次插值） 对于，当n=1时，假定给定区间[x0，x1]及端点的函数值y0，y1，要求线性插值多项式P1(x)满足P1(x0) = y0，P1(x1) = y1，P1(x)的几何意义就是过两点(x0，y0)，(x1，y1)的直线。 （点斜式） （两点式 或 对称式） 由两点式看出，P1(x)是由两个线性函数： ， 的线性组合得到，其系数分别为及。 即 显然，及也是线性插值多项式，在节点x0，x1 满足 ，； ，； 我们称及为线性插值基函数。 2. 抛物线插值（三点二次插值） 线性插值仅仅用两个节点以上的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题，即当n＝2时，假设插值节点为x0，x1，x2 要求二次插值多项式P2(x)满足 （i＝0，1， 2） 我们知道在几何意义上就是过三点(x1，y1)的抛物线，为了求出，可以采用基函数方法。 设 此时基函数、及是二次函数，且在节点上满足条件 ； ， （i=1， 2）； ，， （i=0， 2）； ， ， （i=0， 1） ； 现在来求。 ∵有两个0点 ∴设 ∵ ∴ ∴ 同理 ， 将、及的值分别代入 ，有 1.22拉格朗日(Lagrange)插值 设有n＋1个节点，x0x1…xn 的n次插值多项式Pn(x)，假定它满足 （i＝0，1，…，n） 基本思想： 构造n+1个插值“基函数” li(x) (j=0，1，…，n) 就称这n+1个n次多项式li(x)为节点(x0，x1，…，xn)上的n次插值基函数。 则所求插值多项式即为：。并称该式为拉格朗日插值多项式，线性插值及抛物线插值仅是该式的当n＝1及n＝2的特例。 拉格朗日插值基函数构造 ( i=0，1，…，n 若记 则 注意1：n次插值多项式Pn(x)通常是最高次数为n的多项式，特殊情况下，次数可能小于n 例 求过这三个点 (0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多项式。 解： 此为一条直线，其原因在于(0，1)，(1，2)， (2，3)三点共线 注意2： 1.23 Lagrange插值的截断误差(插值余项)与误差估计 若在区间[a，b]上用Pn(x)近似f(x)，则其截断误差为： Rn(x)= f(x)－Pn(x)，或称插值余项。 定理 设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在，则(其中ζ依赖于x)： 由于余项中含有，如果插值点偏离插值点xi较远则插值效果就可能不太理想，通常如果插值节点位于插值区间内，就称为内插，否则称为外插。由上述定理表面外插是不可靠的。 插值的截断误差限估计式： 三、例题： 例1 已知函数y=f(x)的观察数据为下表，试构造拉格朗日多项式 Ln (x)， 并计算L(－1)。 xk －2 0 4 5 yk 5 1 －3 1 解： 先构造基函数 所求三次多项式为 L3(x) ＝ L3(－1)＝ 例2 已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。 解： 由题意取x0=0.32, y0=0.314567 , x1=0.34 ,y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 。 用线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及 x1=0.34 , 又由公式得 sin0.3367(L1(0.3367)= = =0.330365 . 其截断误差得 其中 ，因 f(x)=sinx，f//(x)= -sinx， 可取，于是 (R1(0.3367)(=(sin 0.3367 –