导数yu单调性(理).docVIP

利用导数判断函数的单调性 直击考点 考点一 求不含参数的函数的单调区间 考例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间. 思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。 解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1) =x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x) 令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜. ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，) 令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1. ∵为拐点， ∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞) 其函数的大致图像如下图： 锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f’(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是，而1。 举一反三： 1.函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2.(05年广东高考题)函数是减函数的区间为( ) （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 答案：D 解析： 考点二 求含参数的函数的单调区间 考例2 ．（06山东卷）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a--1，求f(x)的单调区间。 解：由已知得函数的定义域为，且 （1）当时，函数在上单调递减， （2）当时，由解得 、随的变化情况如下表 — 0 + 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递增. 综上所述： 当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 锦囊妙计:求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数进行分类讨论. 举一反三： （06山东卷）设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值.解：由已知得 ， 令，解得 . （Ⅰ）当时，，在上单调递增 当时，，随的变化情况如下表： 0 + 0 0 极大值 极小值 从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当时，函数没有极值. 当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值. 考点三 利用导数证明不等式 考例3. 当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x. 思路分析：假设构造函数f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以得到证明. 证明：令f(x)=e2x－1－2x. ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1) ∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0 ∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数. ∵f(0)=e0－1－0=0. ∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0. ∴1+2x＜e2x 锦囊妙计：通过构造函数, 利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值, 利用单调性证明一个不等式。这也是证明不等式的一个种方法. 举一反三: 1.已知x1，证明不等式x1n(1+x) 思路分析： 构造函数，利用导数知识讨论的单调性,从而证得. 解：令，则，，在（1，上为增函数 ,∴当x1时,f(x)f(1),即x-1n(1+x) 1-1n20, ∴x1n(1+x). 2.证明不等式 提示:构造函数,利用导数证明函数是增函数。 考点四 利用导数讨论（求）函数中的参数的取值范围 考例4．（06全国II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围． 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax， 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， (i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)， 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax． (ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数， 又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)， 即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立． 综上，a的取值范围是（－∞，1]． 解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax， 于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．　 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，