北大高代(第3版)8.1.pptVIP

* * 主要内容 第一节 ? - 矩阵 定义 举例 一、定义 设 P 是一个数域，? 是一个文字，作多项式环 P[?] . 一个矩阵，如果它的元素是 ? 的多项式，即 P[?] 的元素, 就称为 ? - 矩阵. 在这一章，我们来 讨论 ? - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上 一章第八节中关于若尔当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[?] 的元素，所以在 ? - 矩阵中也包括以数为元素的矩阵. 为了与 ? - 矩 阵相区别，有时我们把以数域 P 中的数为元素的 矩阵称为数字矩阵. 以下用 A(?)， B(?)，… 等 表示 ? - 矩阵 . 我们知道， P[?] 中的元素可以作加、减、乘 三种运算, 并且它们与数的运算有相同的运算规律. 而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法 与乘法，因此，我们可以同样定义 ? - 矩阵的加法 与乘法, 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律. 这些就不重复叙述与证明了. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法, 因此, 同样可以定义一个 n ? n 的 ? - 矩阵的行列式. 一般地，? - 矩阵的行列式是 ? 的一个多项式, 它与 数字矩阵的行列式有相同的性质. 例如, 对于? - 矩 阵的行列式，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积 这一结论，显然是对的. 既然有行列式，也就有 ? - 矩阵的子式的概念. 利用这个概念，我们有 定义 1 如果 ? - 矩阵 A(?) 中有一个 r ( r ? 1 ) 级子式不为零，而所有 r + 1 级子式 (如果有的话) 全为零，则称 A(?) 的秩为 r . 零矩阵的秩规定为 零. 对于数字矩阵，这与以前的定义是一致的. 与以前一样，我们还有： 定义 2 一个 n ? n 的 ? - 矩阵 A(?) 称为可逆 的，如果有一个 n ? n 的 ? - 矩阵 使 A(?) B(?) = B(?) A(?) = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵. 适合 (1) 的矩阵 B(?) (它 是唯一的) 称为 A(?) 的逆矩阵，记为 A-1(?) . 关于? - 矩阵可逆的条件有： 定理 1 一个 n ? n 的 ? - 矩阵 A(?) 是可逆的 充分必要条件是行列式 | A(?) | 是一个非零数. 证明 先证充分性. 设 d = | A(?) | 是一个非零的数. A*(?) 是 A(?) 的伴随矩阵，它也 是一个 ? - 矩阵 ，而 因此， A(?) 可逆.