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关于预报雨量方法评价的数学模型 摘要：降雨是日常生活中最常见的天气现象，及时准确地对降雨量作出预报是一个十分困难的问题。 题目给出了用两种降雨量预测方法预测得出的41天各时段网格结点的预报数据，我们对预报方法进行评价。先使用二元三次样条插值法，对91个站点位置进行插值，从而求出各站点预报数据，然后用方差分析计算两种预测方法每一天的拟合优度，从而评价两种预报方法的准确性。第一种方法拟合优度的平均值为0.9087,第二种方法为0.9054,可见这两种方法的预测准确性都比较高，但第一种比第二种的精确度更高。 在评价方法中考虑公众的感受，即考虑公众对预报结果的满意率和满意度。本文建立了两个模型，即满意率模型和满意度模型。满意率指满意数与总数的比率；满意度指达到公众满意的程度。两个模型分别运用算术平均数和加权平均数的方法以及概率的知识进行求解，第一种方法的，，第二种方法的，，可见公众对这两种方法的预测值都比较满意，但第一种方法给公众的感受优于第二种。 关键词：二元三次样条插值法 拟合优度 满意率 满意度 1、问题的重述 本题是一道由气象部门提出，期望建立一种科学评价雨量预报方法好坏的数学模型与方法。 在本题中，气象部门所采用了两种方案研究6小时雨量预报方法。所谓6小时雨量预报方法是指每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的限制，站点的设置是不均匀的。 气象部门提供了41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据。预报数据在文件夹FORECAST中，实测数据在文件夹MEASURING中。FORECAST中的文件lon.dat和lat.dat分别包含网格点的经纬度，其余文件名为f日期i_dis1和f日期i_dis2，例如f6181_dis1中包含2002年6月18日晚上20点采用第一种方法预报的第一时段数据（其2491个数据为该时段各网格点的雨量），而f6183_dis2中包含2002年6月18日晚上20点采用第二种方法预报的第三时段数据。MEASURING中包含了41个名为日期.SIX的文件，如020618.SIX表示2002年6月18日晚上21点开始的连续4个时段各站点的实测数据（雨量）。 题目中有如下假设： 第一，雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨。 第二，气象部门将6小时降雨量分为6等：0.1—2.5毫米为小雨，2.6—6毫米为中雨，6.1—12毫米为大雨，12.1—25毫米为暴雨，25.1—60毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。 该题目的问题如下： 问题一：请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性； 问题二：若上述分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？ 2、问题的分析 2.1 问题一的分析 要评价两种预报方法的准确性，关键是需要把题目中给出的大量预报数据进行处理，使其能与各站点实测值进行比较。因此我们分为两个大的步骤处理该问题： 第一，根据观测点的分布，将网格结点预报数据转化成观测站点预报数据； 第二，根据网格结点预报数据插值成的各站点预报值与实测值比较，判断两种方法的优劣。 在该问题中所使用的数学工具和方法有： 第一，根据各网格结点的降雨量采用二元三次样条插值法求出各观测站点位置的降雨量； 第二，通过拟合优度分析，判断出两种雨量预报方法的准确程度。 2.2 问题二的分析 在评价方法中考虑公众的感受，即公众对预报结果准确度的满意率和满意度。若要求总体的满意率和满意度，首先应该确定每一等级差下站点个数(n)与总站点个数的比率,通过概率的基本性质与平均数来建立比率与满意度的函数关系，最终得出总体的满意率和满意度。 3、基本假设 题目中所给的经纬度范围内的地球面是平面； 题目中给出的每个降雨量数值是相应经纬度点数据，观测站点可以抽象为一个点，其面积大小不影响数据观测； 降雨量小于0.1毫米的视为无雨； 4、符号说明 样本的均值； 样本中第点的函数值； 回归直线上第点的函数值； 样本中第点的函数值与回归直线上第点的函数值的差值； 的总方差，即样本中各点的函数值与样本的均值差的平方和； 的剩余变差，即样本中各点的函数值与回归直线上各点函数值差的平方和； 的解释变差，即回归直线上各点函数值与样本均值差的平方和； 拟合优度，即对的回归方程所能解释的那部分变差占总变差的比例 拟合优度的平均值 拟合优度的方差 第一种方法每一天的拟合优度