(重修)向量的相关性.ppt

向量间的线性关系 * 第三章 * 湖南商学院信息系 线性代数 * 第三章 * 湖南商学院信息系 线性代数 一、线性组合 定义 【例1 】 零向量是任何一组向量的线性组合. 【例2】 都是n维单位向量组 的线性组合. 【例3】 令 对应的向量形式为 结论 非齐次线性方程组(3.1)有解 即 0 0 1 0 0 0 【解】 【例4】 施以初等行变换： 定义 （反身性，传递性） 如果两个向量组可以互相线性表示，则称它们为等价. （反身性，对称性，传递性） 二、线性相关与线性无关 定义 【证】 则 可改写为 定理 【例5】仅由一个零向量组成的向量组线性相关. 【例6】包含零向量的向量组必线性相关. 仅由一个非零向量组成的向量组线性无关. 【例7】 n维单位向量组 线性无关. =0 对应的向量形式为 结论 齐次线性方程组(3.9)只有零解 当m=n时 齐次线性方程组(3.9)有非零解 当m=n时 【解】 对矩阵 施以初等变换化为阶梯形矩阵 0 0 0 1 0 ?1 ?1 5 0 2 2 0 0 1 1 ?5 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 所以秩 =34, 【例8】判断下列向量组是否线性相关? 可知 因此 0 0 0 【解】 (3)、n+1个n维向量必线性相关. (4)、向量组部分向量线性相关?整个向量组必线性相关. 使 (5)、向量组线性无关?它的任何部分组必线性无关. 例如 空间R3中，4个以上的向量总是线性相关. 【证明】 则 唯一性自证 (9)、如果向量组(A),（B）等价，且(A),(B)都线性 无关，则s = t. 如果向量组(A)可由向量(B)线性表示，而且向量组 (A)线性无关，则 三、极大线性无关组 定义 如果 极大线性无关组（极大无关组）. 【例9】 易证 又任何3个二维向量组必线性相关， 向量组的极大无关组不唯一. 向量组的极大无关组都含有相同个数的向量. 向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组 的秩. 一个线性无关向量组的极大无关组就是这个向量 组本身. 一向量组线性无关?它的秩等于它所含向量的个数. 规定 只含零向量的向量组的秩为0. 性质 1）任意一个向量组与它的极大无关组等价. 2）向量组的任意两个极大无关组等价. 3）等价的向量组必有相同的秩.