同方专转本冲刺班数学习题训练五至八讲.docVIP

第五讲：微分中值定理与导数的应用的强化练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1、已知，则有 （B） A　一个实根 　　B　两个实根 C 　三个实根 　　D　无实根 解：（1） 在满足罗尔定理条件 故有（） 综上所述，少有两个实根，至多有两个根，故选Ｂ 2．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 　（D） A　 B　 C　 D　 解： ， 满足罗尔定理条件．故选 D 3．设曲线，则其拐点坐标为（C） A　0 　　　　　　　B（0，1）　 C（0，0）　　　　　D　1 解：．令．得． ．当时，． 故（0，0）为曲线的拐点 　C 4．若内 必有（C）　　　　　　　　　　 A　 B　 C　 D　 解： 凹弧 如示意图，故有 5．设 在取得极值。则为．．．（Ｂ） A　 B　 C　 D　 解：⑴ ① ⑵② ①—② 得① 得 答案选Ｂ 6．下列命题中正确的是----------（B） A 为极值点，则必有 B 若在点 处可导，且 为 的极值点，则必有 C 若在（）有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。 D 若则点必有的极值点。 解：可导函数的极值点一定是驻点，故有=0 选B 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设可导，且的极小值。则 解：原式= 8．的单调增加区间为 解：（1）定义域（2） 当0xe 时。 故的单调增区间为（0，e） 9．的极小值是 解：（1） （2）令，驻点．是不可导点 x 1 + __ + 单调增 单调减 极小 单调增 （3）极小值 10．的最大值为 1 解：（1）是的不可导点。 （2） （3）最大值为 11．曲线的水平渐进线为＿＿ 解： ∴直线是曲线的一条水平渐进线 12．函数在[1，2]满足拉格朗日中值定理条件的 解：（1）—= （2） 三、计算题（每小题8分，共64分） 13.已知在区间满足拉格朗日中值定理条件，求 解： ， 14．求函数的单调区间 与极值。 解：（１） 驻点，的不可导点 （2） x -1 0 + - + 极大 极小 （3）极大值 ，极小值， 在单调减 在单调增 15 求由方程所确定 的极值。 解：（1）求驻点： 令→驻点 （2）判别极值点 当时 代入上式 2+0+0+0+ =为极大值点， （3）极大值 16．求在区间[，4] 上的最大值，最小值。 解：（ 1） 令， 为不可导点 （2）∵ （3）比较上述函数的大小 最小值为 ，最大值为 0 17．求曲线的凹凸区间与拐点。 解：（1）定义域（--∞，+∞） （2） 令 得； 不存在的点为 （3）列表 （-∞，0 0 （0，-1） 1 （1，+∞） + — + 凹 拐点 凸 拐点 凹 答：拐点（0，）及（1，）；， 为凹区间，（0，1）为凸区间。 18．求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。 解：（1）是曲线的一条水平渐近线。 （2） 是曲线的另一条水平渐近线 （3）∵ 为曲线的一条垂直渐近线 19．判别函数在的单调性。 解：（1） （２）令 且 （3） 在单调减。 20．设确定单调的区间。 解：（1） 故有为驻点 （2）当时， 时， （3）除外，．在单调增加。 四、综合题（每小题10分，共２０分） 21 已知函数的图形上有一拐点（2，4），在拐点处曲线的切线斜率为，而且该函数满足，求此函数 解（1）已知； （2）求常数 ， （3）求： ， 由 （4）求函数y: 答：所求函数y= 22 利用导数描绘的图形 解：（1）定义域，非奇非偶函数 （2）求驻点和的点 ，令，驻点 ，令，得 （3）列表 x 1 (1,2) 2 + _ _ _ _ + y 极大 拐点 极大值，拐点 （4）渐近线与函数变化趋势 是曲线的一条水平渐进线， （5）描点作图 当时 五、证明题（每小题9分，共18分） 23 设 存在且单调增加，证明当时单调增加 证明：1）令 当时，单调增加 故有单调增加 24 设证明， 证明：1）构造辅助函数： （2）且 由罗尔定理知 选做题 证明方程：恰有一实根，其中常数，且 证明：（1）令 且 (4)综上所述：有且仅有一个实根 第六讲:利用导数证明不等式及导数应用题的强化练习题答案 1．当时,证明成立. 证：(1)变形:,这是对数函数的增量形式 令 (2)在应用拉格朗日中值定理: (3) 故有 证毕！ 2．证明:成立 证：(1)构造辅助函数, 令 (2)在应用拉格朗日定理: (3) 对于 的情形,同理可证. 证毕 3．证明:当时,有成立. 证：(1) 构造辅助函数： ∴令 (2) 在应用拉格朗日中值定理