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第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第*页 X 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 主要内容 传输函数与系统函数 系统的因果性和稳定性 系统的频率特性 几种特殊系统 2.6.1 传输函数与系统函数 传输函数H(e jω) ： 单位脉冲响应h(n)的傅里叶变换H(e jω) 表征系统的频率特性 系统函数H(z)： h(n)的Z变换 表征系统的复频域特性 另一定义 N阶差分方程 进行Z变换 二者关系： 条件：H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1 特征序列 设输入信号X(n)=ejωn，则系统输出信号为 即 上式说明，单频复指数信号ejωn通过频率响应函数为H(ejω)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大|H(ejω)|倍，相移为φ(ω) 系统输入信号x(n)=cos(ωn)时，系统的输出信号y(n): 利用前面的结论可得到: 设h(n)为实序列，则H (ejω)=H* (e－jω) |H(ejω)|=|H(e－jω)| φ(ω)=－φ(－ω) 所以 线性时不变系统对单频正弦信号cos(ωn)的响应为同频正弦信号，其幅度放大|H(ejω）|倍，相移增加φ(ω)，这就是其名称“频率响应函数”、“幅频响应”和“相频响应”的概念。 2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 稳定系统 时域 Z域：收敛域应包括单位圆 因果系统 时域 当n0时，h(n)=0，即h(n)= h(n)u(n） Z域：ROC: 即收敛域在某个圆外 因果稳定系统 ROC: 收敛域应包括∞点和单位圆或H(z)的极点均在单位圆的内部。 系统的可实现性 严格讲，非因果稳定系统是不可实现的，利用数字系统或计算机的存储技术，可以近似实现。 例如 2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 因式分解得 分子分母同乘以z N+M 设系统稳定，将z=e jω，得到传输函数 设N=M Re[z] jIm[z] αr dr βr cr 在z平面上，ejω-cr用一根由零点cr指向单位圆上ejω点B的向量 表示，同样ejω-dr用由极点指向ejω点B的向量 表示，如图所示。 用极坐标表示 频响特性的几何确定法 B e jω 将 和 表示式代入上式，得 所有零点矢量长度之积 所有极点矢量长度之积 所有极点矢量相角之和 所有零点矢量相角之和 1.?系统的频响特性 ：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比 ：相频特性，输出对输入序列的相移 3.因为 是周期为 的周期函数，所以系统的频响 特性 为周期为 的周期函数。 ?4.?????? 是关于 的偶函数， 是关于 的奇函数。 2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态， 因 而变化，影响输出的幅度与相位。 小结 几点结论 2.6.4　几种特殊系统的系统函数及其特点 　　1. 全通系统（滤波器） 　　如果系统的幅频特性对所有频率均等于常数或1，即 则该系统称为全通系统(或称全通网络)。 全通系统的频率响应函数可表示成 表明信号通过全通滤波器后，幅度谱保持不变，仅相位谱随φ(ω)改变，起纯相位滤波作用。 全通滤波器的系统函数一般形式如下式： 或者写成二阶系统级联形式 全通滤波器系统函数H(z)的特点是其分子、分母多项式的系数相同，但排列顺序相反。 两式中的系数均为实数。 下面给出证明 由于系数ak是实数，因此 令： 设zk为H(z)的零点，则 必然是H(z)的极点， × × × z1是H(z)的零点，则必有零点z1* 、极点 z1-1和(z1-1)* 实数零极点，则以两个一组出现, 且零点与极点互为倒数关系。如z2 Re[z] jIme[z] 零点和极点的分布规律 全通系统的极点和零点互为倒数关系 × × × Re[z] jIme[z] 如果将零点z1和极点(z1-1)*组成一对，将零点z1*与极点z1-1 组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果zk-1为全通滤波器的零点，则zk*必然是全通滤波器的极点。因此，全通滤波器系统函数也可以写成如下形式： 注意:为了保证分子、分母多项式系数是实数，极点、零点分别以共轭对形式出现，当N=1时，零点、极点均为实数。 2. 梳状滤波器 设滤波器的系统函数为H(z)，如果其频率响应函数H(ejω)以2π为周期。将H(z)的变量z用zN代替，得到H(zN)，则相应的频率响应函数H(ejωN)是以2π/N为周期的，在区间［0, 2π］上有N个相同频率特性周期。利用这种性质，可以构成各种梳状滤波器。 零点为1