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数学建模第一专题 《数学建模基本概念》 杨乾尧 前言 我们在学习数学的时候，经常会提出这样一些问题：数学到底有什么用？如果数学有用，那么数学怎么用？特别是到了大学以后，这样的问题更为普遍。 针对这样一些困惑，从二十世纪九十年代开始，以清华大学为首的许多高等院校在校内开始开设《数学建模》、《数学实验》等课程；与此同时，国家教委高教司与清华大学等高校一起在全国范围内开展了“数学建模竞赛”的活动，旨在激发同学们学习数学的兴趣，培养大学生的数学建模能力（即数学应用能力）、创新能力以及综合运用所学知识的能力，提高大学生的数学素养和综合素质。 一石激起千层浪！自从数学建模竞赛于1993年在全国范围内举办以来，如火如荼，现已成为全国大学生最大的课外科技活动。每个大学生都把能参加这样的赛事作为自己的荣誉，把能获得奖项作为自己的追求目标，不断努力不断追求，取得了许多可喜可贺的成绩，也留下了许多感人的事迹。尽管每个大学生追求的过程各有千秋，但有一点是共同的，那就是每个参赛大学生的综合能力得到了普遍的提高，为求职创业增加了不可替代的法码。 今年我们北方学院为了全面提高在校大学生的素质，培养创新能力和综合运用知识的能力，提出了“质量立校”的口号，通过举办和参加一系列科技竞赛活动，促进学校的校风和学风建设，努力提高人才培养质量。《数学建模》课程的开设和组队参加全国大学生数学建模竞赛活动就是在这样的背景下产生了。 《数学建模》是一门应用性的数学课程，它揭示了数学应用的极端广泛性，同时回答了数学怎么用的问题。 通过学习这门课程，我们要达到以下四个目的： ⑴对数学学科有新的认识，明确数学不但是自然科学的基础，而且是一切学科的基础。 ⑵了解数学应用的极端广泛性，在于它的高度抽象性。 ⑶掌握数学建模的方法与步骤。 ⑷熟记一些常见的数学模型；同时能够结合计算机、数学软件解决一些实际问题。 学习数学建模课、参加数学建模竞赛是一件非常有意义的一件事，她不但能培养我们的自学能力、创新能力，而且还能培养实践能力、科研能力、协作能力，可以全面提高我们的综合素质。为此要求大家：①认真听讲，认真做好笔记；②适当采购些参考书，特别是Mathematica、Matlab等方面的书，因为学时数的限制，这方面的内容我们介绍不多；③要多练，勤思考。 数学建模的基本概念与方法 一、数学模型与数学建模 （一）数学模型（Mathematical Model） 1、 直观模型：供展览用的实物模型。（玩具等） 物质模型 物理模型：根据相似原理构造的模型。 （形象模型） （如：波浪水箱中的舰艇模型、地震模拟装置、核爆炸反应模拟设备等） 思维模型：指人们通过对原型的反复认识而 获得的知识与经验。（司机对方向 盘的操纵、教师的讲课艺术等） 符号模型：指在一些约定或假设下借助于专 理想模型 门的符号、线条等，按一定形式 （抽象模型） 组合起来的模型。（地图、电路图、 化学结构式等非量化模型） 数学模型：由数字、字母或其它专用数学符号按一定方式组成的数学公式、图形等。（广义解释） 3、数学模型（Mathematical Model） 数学模型就是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，(狭义解释) 如：定积分 就是曲边梯形面积的一个数学模型。我们通过运用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积的思想方法，得到曲边梯形面积的近似值，再利用极限手段得到精确值（数学结构）。 本课程的重点不是介绍数学模型是什么样子的，而是讨论建立数学模型的全过程，简称“数学建模”（Mathematical Modelling）,从中掌握一些常用的建模方法，为今后解决复杂的建模问题打下良好的基础。 （二）数学建模（Mathematical Modelling） 1、数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法和数学的思维活动过程，是对实际问题通过抽象与简化，运用数学的语言与方法去刻划，并能近似解决实际问题的一种数学活动过程。 建立数学模型没有固定的格式与标准，甚至对于同一问题，从不同的角度、不同的要求出发，可以建立起不同的数学模型。因此与其说数学建模是一门技术，不如说是一门艺术，它需要熟练的数学技巧与计算机技能，丰富的想象力与敏锐的洞察力，灵活运用抽象、归纳、演绎、类比等思维方法，需要大量阅读、亲自实践。 2、数学建模的全过程 下图揭示了实际问题与数学模型的关系：数学模型是对实际问题进行抽象、翻译、归纳的产物，它来源