第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）.pptVIP

2.1 引 言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。 二.变换域分析法 信号与系统的频域分析、复频域分析。 1.连续时间信号与系统： 拉普拉斯变换和傅里叶变换。 拉普拉斯变换可将微分方程转化为代数方程。 2.离散时间信号与系统： Z变换，离散时间傅里叶变换DTFT(以及DFT、FFT) 。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。 2.2 Z 变 换的定义与收敛域 一、 Z变换的定义 一个离散序列x(n)的Z变换定义为 式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即 2.3 Z反变换 2.4 Z变换的性质 2.5 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 2.6 离散时间傅里叶变换DTFT （序列的傅里叶变换） 1.正变换（DTFT） : DTFT存在的条件 1、x(n)绝对可和： 2、平方可和： 3、引入冲激函数δ，可求DTFT（参阅P74例2-15） 2、反变换（IDTFT）: 2.7 序列傅里叶变换的主要性质 1、线性 4、乘以复指数序列（调制性） 7、序列的线性加权 2.9 傅氏变换的一些对称性质 一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足 xe(n)=xe*(-n) 则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则 再将-n代入，则 根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。 2.共轭反对称序列 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n) 则称序列为共轭反对称序列。同样有： 二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和 2.10 离散系统的系统函数及频率响应 一.系统函数: 线性移不变系统常用差分方程表示： 三.系统函数和差分方程的关系 四.系统的频率响应的意义 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上的Z变换 称作系统频率响应。 五.频率响应的几何确定 2.几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量ω(N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。 零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。 [例2-17] 设一阶系统的差分方程为: [解]: 对差分方程两边取Z变换: 五.IIR系统和FIR系统 1.无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n) 延伸到无穷长,即n→∞时,h(n)仍有值,这样的系 统称作IIR系统。 2.有限长单位冲激响应(FIR)系统 h(n)为有限长序列的系统。 2.8 周期序列的傅里叶变换 因为n→∞时，周期序列不趋于0，所以它既不绝对可和，也不平方可和。需引入冲激函数δ。 1、复指数序列 复指数序列（复正弦序列）的DTFT是以ω0为中心、以2π的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2π 。 2、常数序列 常数序列的DTFT是以ω=0为中心、以2π的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2π 。 3、周期为N的抽样序列串 周期为N的抽样序列的DTFT是频率ω在2π/N的整数倍上（即2πk/N）的一系列冲激函数之和，其积分面积为2π/N 。 证明： 五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系 1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部 证明： 2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部 证明： 六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系 1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部 证