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01第1章 数学建模初步1 --27
第1章 数学建模初步
§1-1 数学模型及其表示形式
1.1.1 数学模型概念
模型是我们对所研究的客观事物相关属性的模拟,它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质.陈列在展厅橱窗里的模型飞机应当具有飞机的形态,至于它是不是会飞,也许并不是我们感兴趣的性质.而参加航模比赛的模型飞机则不然,如果它不会飞或飞行性能不佳,即使它再像飞机,也不能算是一个好模型.模拟不一定是对实体的仿造,而可以是对某些基本属性的抽象.例如:一张地质图就是某地区地貌特征的一种模拟.模型主要有下列几类:
1. 直观模型:实物模型,主要追求外观上的逼真.
2. 物理模型:为一定目的根据相似原理构造的模型,不仅可以显示原型的外形或某些特征,而且可以进行模拟试验,间接地研究原型的某些规律.
3. 思维模型:也称演绎推理模型,数学模型就属这类模型.数学模型有多种定义形式:
(1)近藤次郎(日本)的定义:数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式.
(2)E.A. Bender(美国)的定义:数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构.
(3)姜启源(中国)的定义:是指对于现实世界的某一特定对象,为了某个特定的目的,做出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个数学结构.
所谓数学结构是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等,这些基于数学思想与方法的数学问题.
总之,数学模型是对实际问题的一种抽象,是基于数学理论和方法,来刻划客观事物的本质属性与其内在联系的数学结构.可用数学符号、数学关系式、数学命题和图形图来表示.
数学模型的思想具有很悠久的历史.古希腊时期:“数理是宇宙的基本原理”;微积分法的产生,使得数学与世界密切联系起来,用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛,也越来越精确.如费马(P. Fermat 1601-1665)用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”,牛顿(Newton 1642-1727)将力学法则用单纯的数学式表达,有著名牛顿第二定律,结合开普勒三定律得出万有引力定律等等.
数学模型的另一个重要的特点是要接受实践的检验.因为建模的目的是要用以研究和解决原型的实际问题.而数学模型是经过简化和抽象得到的,尽管这个数学模型的组建过程中的逻辑推导准确无误,也并不意味着模型是成功的,它必须要接受实践的检验,经检验被认为是可以接受的模型才能付诸使用.
1.1.2 数学模型示例
1. 椅子的稳定性问题
问题描述
将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上,是否总能设法使它的四条腿同时着地,即放稳?请用数学模型给于解决.
问题分析
对题目中“放稳”要有正确的理解:椅子的四条腿同时着地就认为放稳了,尽管有可能与通常人们的放稳的含义有冲突.
有哪些方法可设法使椅子放稳?结合日常生活,放稳的方法无非是平移和旋转,而经过平移后仍要考虑旋转,因此旋转是主要的方法,当固定了中心后旋转的角度就是关键的变量.
刻画放稳的数学依据是椅子的“脚”与地面的距离,且此距离随着旋转角度的变化而变化.
因此,此题目就是要建立合适的距离函数,寻找恰当的角度使函数值为零.
假设
① 地面为光滑曲面;
② 相对地面的弯曲程度而言,椅子的腿是足够长的;
③ 只要有一点着地就视为已经着地,即将与地面的接触视为几何上的点接触;
④ 椅子的中心不动.
建立模型
设表示两脚与地面距离之和,表示两脚与地面距离之和,则当三点着地,有 .
不失一般性,设初始时有成立,即没放稳.因此,此问题的数学模型为下列的数学命题:
已知是的连续函数,且对任意有成立,求证:至少存在 ,使得.
模型求解
证明 将椅子转动,对角线互换,由可得
现令 ,则可得,而.由的连续性,根据介值定理,在开区间内至少存在一点使得,即.又由,可得.
结论
能放稳.
注 此例的数学模型是由数学命题来表示的.
2. 学生就餐问题
问题描述
假设在某一高校里只有两类餐厅,一类是学校公办餐厅,另一类是私人的承包餐厅,通过调查发现,在公办餐厅就餐的学生有的回头率,而在承包餐厅就餐的学生有的回头率,试建立数学模型求解学生在每类餐厅长期就餐的百分比,由此你能得出什么结论?
问题分析
从题目中可以知道,就餐规律是在公办餐厅就餐的学生有60%会回到这类餐厅,同时说明在公办餐厅就餐的学生还有会转到承包餐厅就餐;对于在承包餐厅就餐的学生有的回头率,也就是说在承包餐厅就餐的学生有的会转到公办餐厅就餐.按照这样的规律,随着时间的推移,在这两类餐厅就餐的学生比例随之变化,我们要解决的是当时间充分大时学生在每类餐厅长期就餐的百分比.
建立模型
假设我们是定期统计就餐数据,比如可以是一天,一个月或更长的时间段,那么若时刻学生在公办餐厅和承包
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