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2014届武昌区高三元月调考理科数学试卷及答案
武昌区2014届高三年级元月调研考试
理科数学试题参考答案及评分细则
一、选择题:
1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.D 7.A 8.C 9.B 10.B
二、填空题:
11.480 12.(或0.68) 13.
14.(Ⅰ)16;(Ⅱ) 15.(Ⅰ)120;(Ⅱ)80
三、解答题:
16.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)因为,所以 .
因为 , 所以 ,从而 ,
所以.…………………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)因为 ,,根据正弦定理得 ,
所以.
因为,所以 .
所以△的面积.……… ………………(12分)
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ) 因为,且依次成等比数列,
所以,即,
所以,解得(不合要求,舍去).
所以.
因为,所以
所以是首项为2,公比为2的等比数列.
所以
所以 ……………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)
于是
所以,当时,,=;
当时,,.………………………………………(12分)
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)方法一:
,
;
,
.
平面. …………………………(6分)
方法二:
平面,平面,
∴.
又∵,∴平面.
∵平面,∴.
同理可证.
∵,
∴平面. …………………………………(6分)
(Ⅱ)如图,以为为x轴,为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,
因为,,,得到下列坐标:,,,,,,.
由(Ⅰ)知,是平面的一个法向量.
设平面的法向量为,则.
,.
令,,则.
∴.
∴.
∴平面和平面所成的角的正弦值为.………………(12分)
19.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)数学合格的概率约为.
物理合格的概率约为.…………………………………………(4分)
(Ⅱ)(ⅰ)随机变量的所有取值为9,4.5,3,-1.5.
; ;
; .
所以,随机变量的分布列为:
.…………………………(9分)
(ⅱ)抽查5位同学物理分数,合格人,则不合格有人,
总学分为个.
依题意,得,解得.
所以或.
设“抽查5位同学物理分数所获得的学分不少于14分”为事件,
则.……………………………………(12分)
20.(本题满分13分)
解:(Ⅰ)设,则,知.
过点且与轴垂直的直线方程为,代入椭圆方程,有
,解得.
于是,解得.
又,从而.
所以椭圆的方程为. …………………………………………(4分)
(Ⅱ)设,.由题意可设直线的方程为.
由消去并整理,得.
由,得.
由韦达定理,得.
点到直线的距离为,,
.
设,由,知.
于是.
由,得.当且仅当时等号成立.
所以△面积的最大值为.…………………………………………(8分)
(Ⅲ)假设存在直线交椭圆于,两点,且为△的垂心.
设,因为,,所以.
由,知.设直线的方程为,
由得.
由,得,且,.
由题意,有.
因为,
所以,即,
所以.
于是.
解得或.
经检验,当时,△不存在,故舍去.
当时,所求直线存在,且直线的方程为.……………(13分)
21.(本题满分14分)
解:(Ⅰ)的定义域为,.
由,得.
当时,;当时,.
所以,在处取得最大值.
由题意知,所以.…………………………………(4分)
(Ⅱ)(1)当时,由,知不合题意.
(2)当时,设.
则.
令,得,.
①当时,,在上恒成立,
因此在上单调递增,从而总有,
即在上恒成立.
②当时,,对于,,
因此在上单调递减.
因此,当取时,,
即不成立.故不合题意.
综上,的最大值为. ……………………………………………………(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:对任意的恒成立.
即对任意的恒成立.
取(,则,
即.
当时,,不等式成立;
当时,.
因为,
所以.
综上,. ………………………………………(14分)
x
y
z
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