2014年“高教杯”数学建模竞赛a题解答.doc

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要 本文以月心为圆心建立空间直角坐标系，通过能量守恒定律并假设轨道方程为椭圆方程确定嫦娥三号着陆准备轨道近月点位置和作为控制策略，建立燃料消耗2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以速度控制个发动机的脉冲组合实现姿态为9.51W，4412N，海拔2641m（见附件1）。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗1)确定着陆准备轨道近月点位置2)确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。 (3)对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 二、符号说明 符号说明： 1、为月球半径 2、分别表示纬度和经度 3、为软着陆轨道上任意一点在以月心为原点，分别为月球的零度经线，月球自转方向，极轴所确定的三维直角坐标系中的具体位置 3、为推力在主减速阶段所做的功，均为不同的推力 4、分别为近月点和远月点的总能量； 5、为近月点的月心距，为远月点的月心距，为近月点的速度，为远月点的速度，，分别为近月点、远月点的高； 6、表示软着陆阶段着陆器在第段的初始速度大小，为着陆器到达月球表面指定地点时的速度大小 7、为海拔高度，为软着陆阶段第阶段始末位置的高度差，为第个阶段着陆器运动所用的总时间 8.为第i个阶段的能量消耗 9. 为发动机推力 三、模型假设 1、在确定嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点时，假设燃料燃烧引起的着陆器质量变化忽略不计，在软着陆过程中将月球的向心加速度视为常量，且等于月球表面的向心加速度(). 2、在确定近(远)月点位置时忽略月球自转，着陆器在飞往月球过程中，按照影响球理论，假设每一时刻只受对其运动影响最大的中心引力体的作用。 3、在平面内求解近(远)月点位置的过程中假设快速调整后着陆器做垂直于月球表面的直线运动，推力在每一阶段都是恒力(要么是,要么是)且忽略悬停时间 4.在几百秒范围内的下降时间内，月球引力非球项、日月引力摄动和月球旋转等影响因素均忽略不计。 四、确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置和速度 建立如图1所示的三维空间直角坐标系，其中o为月球的月心分别为月球的零度经线，月球自转方向和极轴，其中着陆器在月球表面的着落点的坐标为()，在近月点的坐标为()。 图1 三维空间直角坐标系 求着落点的坐标的方法如下： 若月球上任意一点为(),那么将其表示为三维体系中的点()，则有 东经： （1） 西经： （2） （3） 北纬： （4） 南纬： （5） 上式中R是月球半径，其单位是： ,是海拔高度，其单位是： 是纬度，是经度。 将 将数值代入得 由于嫦娥三号将在近月点处以抛物线下降，故可在平面内建立如图2所示着陆器的轨迹方程，其中轴为极轴，轴为月球自转方向。 假设此方程式为： 轨迹过，两点。 将两点坐标代入得 （6） 在主减速阶段即，着陆器在这的速度大小为：，在的速度大小为： 由动能定理得等式： （7） 这一过程推力做的功为： （8） （9） 由（6）（7）（8）（9）得 （10） 由于平面是着陆器的下降轨迹所在的平面，所以近月点在轴的坐标与着陆点轴在轴的坐标相等即 当时，将，，，时，，代入（2）（3）（10）得： 当时，将，，，时，，代入（2）（3）（10）得：