2017浙江省高中数学竞赛试卷详解.docx

2017年浙江高中数学竞赛一，填空题（每题8分，共80分）在多项式的系数为______.2. 已知，则实数a=_________.3. 设中有两个实数根，则的取值范围是___________.4. 设，则_______.5.已知两个命题，命题单调递增；命题,为假命题，则实数a的取值范围为____.6. 设S是中所有有理想的集合，对简分数，定义函数则在S中根的个数为___________.7. 已知动点P,M,N分别在x轴上，圆和圆上，则的最小值为__________.8. 已知棱长为1的正四面体P—ABC,PC的中点为D,动点E在线段AD上，则直线与平面ABC所成的角的取值范围为__________.9. 已知平面向量，则所有取不到的值的集合为____________.10. 已知有三个根若，则实数a=_______.二. 解答题（本题满分20分）设对每个n，求的实数解。12. （本题满分20分）已知椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆与P,Q两点.若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线于M（1）求的大小；（2）求的最大值13.???（本题满分20分）设数列满足：证明：如果为有理数，则从某项后为周期数列14. （本题满分30分）设,证明：存在不全为零的数同时被3整除15. （本题满分30分）设的一个排列，记参考答案一，填空题1，【答案】-4128【解析】2,【答案】2【解析】将原式化简为上的增函数，。因此可得函数a=23,【答案】[ 0. 2 ]【解析】因为在[0,1]中有两个实数根，所以a,b满足，由此可得到的取值范围为[0,2]4,【解析】由于且，所以5, 【解析】命题p成立当且仅当a1；命题q成立当且仅当-2a2。若为真命题，为假命题，则6, 【答案】5【解析】由于则有由此检验可得方程的根的个数为57, 【答案】=【解析】圆关于x轴对称的圆的圆心坐标为（3，-4）则=8，【答案】【解析】记BC中点为O点，以O为原点，BC为X轴正向，OA为y轴正向，建立空间直角坐标系，则所以.从而可设，于是。设所求角为θ，则，这里最后一个不等式是由于单调性以及，即9, 【答案】【解析】将向量的起点平移至原点O，再以分别为x,y轴正向建立平面直角坐标系。则向量对应的点坐标为。于是表示的是点P到单位圆周上的距离d，则d的最大值为4，最小值为.因此所有取不到的值的集合为10，【答案】【解析】设，方程可变形为，从而有于是；，可得二，解答题11，【证明】利用数学归纳法的解当n=1时，x=2是的解。当n=k时，设由此可得（2）当x2时，由此可得都不是的解（对于所有的n）（3）当由此可得因此，对每个n,的实数解为12，【解】：（1）联立设P点的坐标为于是有因为PQ的中点为N,所以N。因此ON的斜率为。因为直线ON交直线，即得（2）令由于因此。综上所述，13，【解析】证：（1）为周期数列（2）对于任意的n,设由已知条件，有且仅有下述一个等式成立有相同的分母（不进行约分）（3）设（4）若存在两个自然数，使得，则由（2）中得到的递推公式以及可得从第k项开始是一个周期数列，周期为（5）由（3）可知对于任意的n,的值只有（有限个），故总能找到，从而有综上所述，如果为有理数，则从某项后为周期数列14，【证明】：不妨设则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数记情形（1）当若若情形（2）记令类似可以证明15，【解】问题等价于圆周上放置n个数，使得相邻的乘积之和为最小，最小值记为不妨设，则数字1必与它相邻。否则设的数字改变为上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为于是可确定。再说明数字2也必与数字n相邻，即事实上，若，则交换此时的目标改变值为因此目标取到最小值时，由此出发，依次可得。在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大队小，小对大放置。由此规律即得下面用递推法计算。考虑n+2个数字，我们在的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，n+2这两个数字，在2,n+1的中间插入n+2，1.即可得到。因此其中可以推出