4北京版小四奥数教材课程四、整除与有余数除法.doc

课程四 整除与有余数除法 1、整除的特征 2、数的整除的性质 3、有余数除法 1、对于整数a与b（b≠0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称 b整除a，或a能被b整除。这时，称a是b的倍数，b是a的约数，并记 作b︱a若不存在这样的整数q，则称b不能整除a，记作ba。 2、两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数，叫做有余数 除法。 （1）被除数÷除数=商……余数 （2）被除数=除数×商+余数 （3）（被除数-余数）÷商=除数 整数的整除性质： 1.如果整数a、b都能被整数c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们 的积也能被这个数整除。 3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这 两个互质数的积整除。反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除， 那么这个数也能分别被这两个互质的数整除。 数的整除特征 （1）被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0，2，4，6， 8，那么这个数能被2整除。 （2）被3整除的数的特征是：如果一个数的各位数字之和能被3整 除，那么这个数能被3整除。 （3）被4（或25）整除的数的特征是：如果一个数末两位数能被4 （或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。 （4）被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0或5，那么 这个数能被5整除。 （5）被8（或125）整除的数的特征是：如果一个数的末三位能被8 （或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）被9整除的数的特征是：如果一个数各个数位上的数字之和能 被9整除，那么这个数就能被9整除。 （7）被11整除的数的特征是：从左向右，如果一个数在第奇数位上 的数字和与在第偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11 整除。 例1 四位数57A1能被9整除，求A。 分析与解法 四位数57A1的各位数字的和应是9的倍数。 5+7+A+1=A+13 ∵四位数57A1能被9整除， ∴A+13应是9的倍数， ∵0 ≤A≤9, ∴13≤A+13≤ 22 故 A+13=18，∴A=18-13=5 例2 任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7，11，13整除。这是为什么？ 分析与解法 用字母表示这六个数。 设任意一个三位数abc，则这个六位数为 abcabc=abc×1000+abc =1001×abc=7×11×13×abc 所以这个六位数能同时被7，11，13整除。 例3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能小。求这个六位数。 分析与解法 根据一个整数分别被3，4，5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数字。 设所求的六位数为568abc。 568abc能被5整除，∴c=0或5。 ∵568abc能被4整除，∴c=0。 要使568abc的数值尽可能地小，则二位数bc=20。 568abc能被3整除，5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数。 例4 用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？ 分析与解法 所求三个三位数能被9整除，那么它们的各位数字之和分别能被9整除。 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。 因为所求的三个三位数都能被9整除，所以它们的各位数字之和分别能被9整除，故这三个三位数中有两个的数字和都是18，一个的数字和是9。 要使数字和是9的三位数尽可能大，百位上的数字必须为6，十位上的数字为2，个位上的数字为1，所以这个三位数是621。 要使数字是18的两个三位数尽可能大，一个的百位上的数字为9，另一个百位上的数字为8，十位上的数字分别为5与7，个位上数字分别为4与3。故这两个三位数是954与873。 因此，所求的三个三位数分别是621，954，873。 例5 有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少？ 分析与解法 因为1001能被7整除，所以111111能被7整除。 因为1001=7×11×13，而 111111=100100+10010+1001 所以，由六个数字1组成的六位数必定是7的倍数。 77÷6=12余5。 11111÷7=1587余2。 所以，这个77位数除以7的余数是2。 例6 一个整数除300、262、205都得到相同的余数，且余数不为0.问这个整数是几？ 分析与解法 这个整数能整除300、262、205中任何两个数的差。 300-262=38=19×2 262-205=57=19×3 300-205=95=19×5 因为所求整数是38、57、95的不