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7-8几何计数学生版
知识框架图
7 计数综合 7-8 几何计数
1.掌握计数常用方法;
2.熟记一些计数公式及其推导方法;
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数.
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想.
一、几何计数
在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.n条直线最多将平面分成 个部分;n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2;n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分;n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……
在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解.
排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关;组合问题与各事物所在的先后顺序无关,只与这两个组合中的元素有关.
二、几何计数分类
数线段:如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)(或含有n个“基本线段”),那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条
数角:数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边.
数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法),因为DE上有15条线段,每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形.
数长方形、平行四边形和正方形:一般的,对于任意长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个.
下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的.如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍,那么围成的图形有几层,共用了多少根小棍?(
用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形.如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成,那么一共要用多少根火柴?(
【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”,若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形,请你数一数共有多少个三角形?(
如图所示,用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网,其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成,那么一共需用多少根火柴棍?(
图中共有多少个长方形?(
下面的和图中共有____个正方形.(
在图中(单位:厘米):
①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?(
【巩固】如图,其中的每条线段都是水平的或竖直的,边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米.求图中长方形的个数,以及所有长方形面积的和.(
下图中共有____个正方形.(
图中有______个正方形.(
如图,其中同时包括两个☆的长方形有 个.(
在下图中,不包含☆的长方形有________个.(
图中含有“※”的长方形总共有________个.(
【巩固】由20个边长为1的小正方形拼成一个长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个,它们的面积总和是 . (第六届走美决赛试题)(
☆
如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形.其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个.那么,图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个.(
如图AB,CD,EF,MN互相平行,则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?(
图中共有多少个三角形?(
下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?(
(第届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)(
(第十届华罗庚金杯图中有个正方形(
【巩固】这幅图中有个三角形.(
一张长方形纸片,长是宽的2倍,先对折成正方形,再对折成长方形,再对折成正方形,……,共对折7次,将纸打开展平,数一数用折痕分割成的正方形共有多少个?(将正方形纸片由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次操作按上述(
在一个圆周上有8个点,正好把圆周八等分,以这些点为顶点作三角形,可以作出 个等腰三角形(
圆周上十个点,任意两点之间连接一条弦,这些弦在圆内有多少个交点?(
圆周上有个点,两点所连的线段叫“弦”,每两点连一
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