《曲边梯形的面积》教学设计及教学反思.doc

《曲边梯形的面积》教学设计A版选修2-2第一章第五节《定积分的概念》的起始课．曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，为引入定积分的概念和体会定积分的基本思想奠定基础. 学生在本节课学习中将会面临两个难点： 一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值。 导入新课 问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？ 设计意图：通过问题1引导学生回忆割圆术的作法，通过问题2并结合计算机模拟割圆术， 引导学生思考割圆术中的思想方法——“以直代曲”和“无限逼近”． 2、新课： 问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题转化为直边图形的面积问题？进而尽可能有规律地减小误差，使得直边图形的面积越来越接近曲边梯形的面积？ 设计意图：通过问题3让学生有的放矢，明确解决问题的方向．通过分组探究发挥学生的主观能动性．由于在一般的曲边梯形中不能构造出正多边形这么规则的图形，所以不能简单地模仿割圆术的作法，需要在理解割圆术思想的前提下灵活地迁移和应用． 3、突破重难点：特例应用，细化操作。 首先给出具体问题：如何求由直线所围成的曲边梯形的面积？针对这个具体问题，设计了以下几个问题： ?问题1：为了逐步减小误差，需要对曲边梯形进行分割，具体怎样分割？ ?问题2：对每个小曲边梯形如何以直代曲？ ?问题3：如何得到整个曲边梯形的近似值？ ?设计意图：分割和近似代替的方案在前面一个阶段已经解决，问题1—3主要是引导学生在具体问题中对方案进行细化操作，初步经历分割、近似代替及求和的过程． ?问题4：直边图形的面积和怎样才能越来越接近曲边梯形面积的准确值？能否得到准确值？ ①.图形方式 ??用几何画板动态演示矩形不足近似和矩形过剩近似的逼近过程，让学生从图形上直观地感知：当越来越大，分割越来越细时，两种方案面积的近似值越来越接近准确值． ②.数表方式 ?借助计算机计算两种方案的近似值，观察两个近似值在越来越大时的变化趋势，发现两个近似值都越来越接近于一个常数． ???问题5：从图形直观上和数值的变化趋势上，我们发现：当无限增大时，近似值会无限接近于一个常数，这个常数就是曲边梯形面积的精确值．那我们能不能直接从近似值的代数表达式中直接得到这一结论呢？ ?③.取极限的方式 ?设计意图：这是本节课的难点之一，教学中先分别用图形、数表两种方式呈现逐渐细分和无限逼近的过程，再在此基础上引出取极限的方法，使学生经历从直观到抽象的过程，实现从感性到理性的过渡． ?问题6：我们用每一个小区间的左、右端点的函数值和作为近似值计算面积，如果取任意处的函数值来计算小曲边梯形面积的近似值，情况又怎样？ ?设计意图：借助几何直观，引导学生发现曲边梯形的面积与近似代替在每个小区间上选取的点无关． ?问题7：回顾求曲边梯形面积的整个过程，你能概括出求这个曲边梯形面积的方法吗？ ? 设计意图：引导学生回顾求曲边梯形面积的过程，并概括求曲边梯形面积的方法、步骤以及其中蕴含的数学思想，初步形成解决曲边梯形面积问题的一般方法。 4.一般推广，强化方法，提炼本质 ?问题：对于一般的由直线所围成的曲边梯形的面积应该如何来求？ ?设计意图：引导学生发现一般的曲边梯形和由直线所围成的特殊的曲边梯形相比，只是区间和函数不同，解决问题的方法和步骤是完全相同的．这一类问题最终都归结为一个特殊结构的和式的极限，即，在数学上我们将其定义为一种新的数学运算——定积分． 终结阶段：本节课在教学设计和实施过程中，努力创设一个探索数学的学习环境，力求符合学生的认知规律，充分发挥学生的主体意识，使学生在探究问题的过程中，亲身体验数学概念形成的过程． 二、成功之处： 1、教学方法上：参考巴班斯基的“教学过程最优化”理论：“突出教学内容中主要的、本质的东西；选择最合理的教学方法和手段。”结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学。这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。 2. 学习的主体和参与度上：课堂不再成为“一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”， 课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。捕捉住了学生发言中的闪光点和思维的火花，不只满足学生此起彼伏的热烈场面 。 3、课程资源开发上：介绍魏晋数学家刘徽创立的《割圆术》，培养浓厚的学习兴趣。寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，接受优秀文化的熏陶，领会数学