《趣味数学故事》教案.doc

第一课时 趣味数学故事 一．揭穿“玩扑克”的秘密J、Q、K分别为11、12、13、A为1），得到几就从几开始按照预先说好的方向转几步，转到数字几，数字几前的奖品就归游客，唯有转到一个位置（右图），必须交2元钱，其余的位置都不需要交钱。 　　真是太便宜了，不用花钱就可以玩游戏，而且得奖品的可能性“非常大”，交2元钱的可能性“非常小”。然而，事实并非如此，通过观察可以看到，凡参与游戏的游客不是转到2元钱就是转到微不足道的一些小物品旁，而钟表、玩具等贵重物品就没有一个游客转到过。这是怎么回事呢？是不是其中有“诈”？ 　　这其实是骗人的把戏。通过图可以看到：由圆圈上的任何一个数字或者左转或者右转，到2元钱位置的距离恰好是这个数字。因此，摸到的扑克数字之和无论是多少，或者左转或者右转必定有一个可能转到2元钱位置。既使转不到2元钱，也只能转到奇数位置，绝不会转到偶数位置，因为如果是奇数，从这个数字开始转，相当于增加了“偶数”，奇数+偶数=奇数；如果是偶数，从这个数字开始转，相当于增加了“奇数”，偶数+奇数=奇数。我们仔细观察就会发现，所有贵重的奖品都在偶数字前，而奇数字前只有梳子、小尺子等微不足道的小物品。由于无论怎么转也不会转到偶数字，也就不可能得贵重奖品了。 　　对于小摊贩来说，游客花2元钱与得到小物品的可能性都是一样的，都 切莫上当！ 二．最古老的数学趣题 答案： 总数是19607 　　房子有7间，猫有72＝49只，鼠有73＝343只，麦穗有74＝2401个，麦粒有75＝16807合。全部加起来是7＋72＋73＋74＋75＝19607 四．古代的数学迷宫——图形数古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。这样，就不得不说，认为宇宙是由点构成的所谓原子论，也可以归结到来源于“点= 　　若把数当作是点的集合，那么，以多少个点表示数的问题，最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。例如，数3可以用3个点来表示，也可用等分成三个单位长度来表示。如图1－1。 　　然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。毕达哥拉斯曾用小石头，如图1－2那样，从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角形，他指着小石头叫别人数。当那个人数完1、2、3、4时，毕达哥拉斯却说：“好啦，你说到的4，我看实际是10。”毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为1表示点，2表示线，3表示面（三角形），4表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数10，就可以表现宇宙。 　　像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的，这些数都可以叫做三角数（如图1－3）。设以Tn来表示第n个三角数，则Tn就等于1、2、3…n个自然数的和，把它列成数学式就是： 　　Tn=1＋2＋3＋…＋n 　　能排列出正方形的数叫做四角数（如图1－4），四角数构成了平方数。若以Sn表示第n个四角数，则数学式就是： 　　Sn=n2 　　但是我们从图1-5可以看出，四角数是由1开始只把奇数加起来构成的。用数学式表示就是： 　　Sn=1＋3＋5＋…＋（2n-1）=n2 　　与四角数相对应，若从2开始，只把偶数加起来就变成所谓的长方数（如图1－6），长方数也叫矩形数。以Rn表示第n个长方数，它的数学式就是： 　　Rn=2＋4＋…＋2n=n（n＋1） 　　在作四角数和长方数时，可以用和角尺一样的图形。这种角尺状图形，数学上叫磬折形，其中表示的数叫磬折形数。两个相邻磬折形数之差，实际上是数列的级差。 　　在三角数Tn、四角数Sn、长方数Rn之间存在着各种各样的关系。如图1－7所示，两个三角数的和就等于一个长方数。 　　2Tn=n（n＋1） 　　从而，下式是可以成立的。 　　 ? 　　假如我们仔细地观察一下下面的两个数列，不难发现，相邻的两个三角数之和是等于一个四角数的。 　　 　　这种关系，如图1－8，用数学式表示，则可为： 　　Tn-1＋Tn=Sn=n2 　　让我们再看看图1－9，图中用○符号表示的数是S5；用●表示的数是S6，由图可以看出 　　4T5＋1=S5＋S6 　　从而，一般可以认为下式是成立的。 　　4Tn＋1=Sn＋Sn＋1 　　如果把含有符号×的全体考虑进去的话，则很清楚地看出下式也是成立的。 　　8Tn＋1=S2n＋1 　　希腊人还研究过如图1－10所示的五角数及图1－11所示的六角数。他们把五角数排列成 　　1、5、12、22、35… 　　把六角数排列成 　　1、6、15、28、45… 　　设Pn表示第n个五角数；Hn表示第n个六角数。我们只要稍微观察一下这两个图，就不难看出，以下的数学公式成立。 　　Pn=Sn＋Tn-1，Hn=2Sn-n 　　假如你观察不出来，你可以把五角数中