三个种群的数学模型.doc

三个种群关系的数学模型 摘要：自然界中不同种群之间存在着一种非常有趣的既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长．而种群乙靠捕食种群甲为生．种群丙又靠捕食种群为生．类似的现象还存在很多。假设这种情况：在草原上栖息着羚羊和狮子，羚羊以草为食，狮子又以羚羊为食。由此建立描述三个种群数量变化规律的微分方程模型，分析平衡点稳定性。 关键词：种群 数解值 平衡点 一、问题重述 自然界中不同种群之间存在着一种非常有趣的既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长。而种群乙靠捕食种群甲为生。种群丙又靠捕食种群为生．类似的现象还存在很多。假设这种情况：在草原上栖息着羚羊和狮子，羚羊以草为食，狮子又以羚羊为食。由此建立描述三个种群数量变化规律的微分方程模型，分析平衡点稳定性。 二、模型假设 假设在草原上只存在了草、羚羊和狮子三个物种。并且羚羊离开草，狮子离开羚羊无法生存。 不考虑自然资源对草的生长的限制。羚羊和狮子都可以正常生长，没有其他原因可以使狮子和羚羊死亡。 草的种子可以正常的生长，小羚羊也可以正常的生长。 三、符号说明 :草在时刻t的数量； ：羚羊在时刻t的数量； ：狮子在时刻t的数量； ：草独立生存时以指数规律增长，相对增长率； ：羚羊离开植物无法生存，它独自存在时的死亡率； ：狮子离开羚羊无法生存，它独自存在时的死亡率； ：羚羊食草的能力； ：草对羚羊的供养能力； ：羚羊对狮子的供养能力； ：狮子掠取羚羊的能力。 ：环境容许的草的最大数量； ：羚羊的最大容量； ：狮子的最大容量； ：单位数量的羚羊（相对于而言）掠取倍的单位数量的草量（相对于而言）； ：单位数量的草（相对于而言）供养倍的单位数量的羚羊量（相对于而言）； ：单位数量的狮子（相对于而言）掠取倍的单位数量的羚羊量（相对于而言）； ：单位数量的羚羊（相对于而言）供养倍的单位数量的狮子量（相对于而言）； 四、模型建立 把草、羚羊、狮子的数量分别记作，，若不考虑自然资源对草的限制，草独立生存时以指数规律增长。相对增长率为，即羚羊的存在使草的增长率减小．设减小的程度与羚羊数量成正比。于是草的模型为： （1） 比例系数反映羚羊食草的能力。 羚羊离开草无法生存．设它独自存在时死亡率为，即： 而草的存在又为羚羊提供了食物。草的存在相当于使羚羊的死亡率降低。且促使羚羊增长。设这种作用与草的数量成正比。则有： 比例系数反映草对羚羊的供养能力； 羚羊又为狮子提供了食物。狮子的存在使羚羊的增长率减小。设减小的程度与羚羊的数量成正比，于是上式右端应减去狮子对羚羊增长的阻滞作用。于是羚羊的模型应为： （2） 比例系数反映狮子掠取羚羊的能力。 狮子离开羚羊无法生存。设它独自存在时死亡率为，即 而羚羊的存在又为狮子提供了食物。相当于使狮子的死亡率降低。且促使狮子的增长。于是狮子的模型为： （3） 比例系数反映羚羊对狮子的供养能力； 方程（1）、（2）、（3）构成草、羚羊、狮子三者既依存又制约的数学模型： （4） 五、模型求解 微分方程组（4）没有解析解，可Matlab求微分方程组（4）的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造； (5) 求方程组(4)及(5)的数值解,并作图。 设=1，=0.5，=0.6，=0.1，=0.02，=0.06. =0.1，。 Matlab程序： M程序： function f=funl(t,x); r1=1;r2=0.5;r3=0.6;lambda1=0.1;lambda2=0.02;lambda3=0.06;mu=0.1; f=[x(1)*(r1-lambda1*x(2));x(2)*(-r2+lambda2*x(1)-mu*x(3));x(3)*(-r3+lambda3*x(2))]; 在Matlab窗口输入：随时间的变化，三个种群的数量的变化曲线。 [t,x]=ode45(funl,[0,20],[100,40,6]); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),-,t,x(:,3),-) legend(x1(t),x2(t),x3(t)) grid plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) grid 从图中可以猜测是周期函数，从数值解近似得出周期为6.25.用数值积分可以算出在一个周期的平