三角函数知识点的总结和精典例题解析.doc

1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) (倒数) 余切 (∠A为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° 0 1 1 0 0 1 不存在 不存在 1 0 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。 把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 经典例题透析类型一：锐角三角函数1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那么( )　　A． 　　　B． 　　　C．　　　 D．　　思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可．　　解析：　　解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出　　　　　 ，∴ ．　　　　　 ∴ ．　　解法2：直接利用勾股定理求出，　　　　　 在Rt△ABC中，． 答案：A　　总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可．　　2．计算：(1)________；　　　　　　　　　(2)锐角A满足，则∠A=________．　　答案：(1)；(2)75°.　　解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可．　　　　　(1)．　　　　　(2)由，得，　　　 　　　∴ ． ∴ A=75°．　　总结升华：　　已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．　　已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角．　　3．已知为锐角，，求．　　思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出，再利用，使可求出．　　解析：　　解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，　　　　　 可设，．　　　　　 则，　　　　　 ∴ ．　　解法2：由，得　　　　　 ，　　　　　 ∴ ．　　总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或利用，来求．类型二：解直角三角形4．已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，．　　　　　　求：(1)DC的长；(2)sinB的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：题中给出了两个直角三角形，DC和sin B可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD=BC，图中CD=BC-BD，因此可列方程求出CD．　　解析：(1)设，在Rt△ACD中，，　　　　　 　∴ ，∴ ．　　　　　 　∵ AD=BC，∴ ．　　　　　 　又，　　　　　 　∴ ，解得．　　　　　 　∴ ．　　　 　 (2)B