第六讲微分中值定理及导数的应用.doc

第六讲微分中值定理及导数的应用 6 . 1 微分中值定理及导数应用的基本概念 一、微分中值定理 1 ．罗尔定理 ( l ）罗尔定理：函数 满足： ① 在上连续； ② 在上可导； ③ ，则 ，使得 注： ① 定理的条件是充分而非必要的． ② 几何意义：在定理的条件下，在曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于轴． 例 6 . 1 设函数具有 n 阶导数，若有 n + 1 个相异的实根，则方程至少有一个实根． 证明：不妨设 的 n 十 l 个相异的实根为：．在每一个区间 上，满足罗尔定理条件，，使得，即至少有 n 个不同的实根．在每个区间上，满足罗尔定理条件，，使得，即至少有两个不同的实根：．类推下去，至少有两个不同的实根： ．在区间上，满足罗尔定理，使得，即方程至少有一个实根． ( 2 ）罗尔定理的推广：若在有限开区间内可导，且存在且相等，则 ，使。 证明：记 ，令，则F在上满足罗尔定理条件，，使得 。 2 ．拉格朗日中值定理 函数 满足： ( 1 ）在上连续； ( 2 ）在上可导，则，使得 注： ① 定理的条件是充分而非必要的． ② 几何意义：在定理的条件下，在曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于连接, 两点的弦． ③ 它是罗尔定理的推广，当 时，即为罗尔定理． ④ 其他表达形式： 例 6 . 2 证明：若，则 ( 1 ） ( 2 ） 证明：令，在区间上，由拉格朗日中值定理，有 显然是的函数，记为 ，且，即 解出 而故，于是有 3 ．柯西中值定理 函数满足： ( l ）在上连续； ( 2 ）在上可导； ( 3 ) ，则使得 注： ① 定理的条件是充分而非必要的． ② 几何意义：在定理的条件下，用参数方程，表示的曲线上必存在一 点，使过该点的切线平行于连接（ g ( a ) , f ( a ) ) , ( g ( b ) , f ( b ) ）的弦． ③ 它是拉格朗日定理的推广，当时，就是拉格朗日定理． ④ 若条件 ③ 改为，则只需将结论分子、分母互调即可． 例 6 . 3 设函数 f 在上连续，在内可导， a · b 0 ．证明 ，使得 分析：要证结论右边是函数的导数的分子，左边是的基本形式，要消除多余的部分，只需令即可，注意到，即原点不在区间内．可用柯西中值定理。 证明：令： ，则因，即原点不在区间内，故 F , g 在上连续，在内可导，且，所以满足柯西中值定理条件，于是，使得 代入整理即得要证的结论。 4 ．泰勒中值定理 若在上存在 n 阶连续导数，在内 n + 1 阶导数存在，则对任意的， ，存在，使得 其中：介于与之间． 注：当时，即为拉格朗日中值定理，所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理在高阶导数时的推广．这个公式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式． 例 6 . 4 设 ，函数在邻域 内具有 n + 2 阶连续导数，且， f 在 内的泰勒公式为 证明： 分析： ① 由于中值 ，所以的取值与 h 有关，即 . ② 要证明结论，需写出的表达式． 证明：由已知 因为 f 在 a 点带皮亚诺型余项的泰勒公式为 将上两式相减并化简得 （ * ） 运用拉格朗日中值定理，有．代人（ * ）并同时消去 h 得 （ ** ） 由已知在点连续，，注意到，对式（ ** ）关令取极限得 二、导数的应用 1 ．利用导数判定函数的单调性及证明不等式 定理：若函数 f 在区间 I 上可导，则 f 在 I 单调增（减）. 例 6 . 5 试比较 与的大小． 证明：令 则 ( l ）当时， , f 在上严格增； ( 2 ）当时， , f 在上严格减 所以 f 在取极大值，也是最大值： 2 ．利用一阶导数求极值 ( 1 ）极值的必要条件（费马定理）：若函数 f 在点可导，且在点取得极值，则注： ① 称使的点为函数 f 的稳定点（也叫驻点） . ② 驻点与极值点的关系： a ．互不蕴含：例如 点是极小值点，但不是驻点；而 点是驻点而非极值点． b ．有关系：可导的极值点必是驻点（费马定理）；凸（凹）函数的驻点必是极值点． ( 2 ）极值的充分条件 极值的第一充分条件：若 f 在点连续，当时，，当时，，则 f 在取极小（大）值． 极值的第二充分条件：若 f 在点二阶可导，，则必为极值点． 时，为极小值点；时，为极大值点． 极值的第三充分条件：若 f 在点有直到 n 阶导数，且 f 则 ① 当 n 为偶数时，必为极值点，时，为极小值点；时，为极大值占 ② 当 n 为奇数时，必不是极值点． 下面仅证明第三充分条件． 证明：将 f 在点展成带皮亚诺余项的泰勒公式，即 由已知，，所以有 因为等式右边