一九八七年全国高中数学联赛试题.doc

一九八七年全国高中数学联赛试题(由河南省主办) 第一试 一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)： 1．对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则( ) A．这样的a有无穷多个 B．这样的a存在，但只有有限个 C．这样的a不存在 D．以上A、B、C的结论都不正确 (上海供题) 2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A．10 B．14 C．5 D．12 (天津供题) 3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中( ) A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n(2≤n+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D．每条直线至多通过一个有理点(河南供题) 4．如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C在圆周上，∠ABC=2α (0α)，现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心使B落到圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上．如此旋转直到100次．那么A点所走过的路程的总长度为( ) A．22π(1+sinα)－66α B．π C．22π+πsinα－66α D．33π－66α (北京供题) 二．填空题(每小题填写结果完全正确者得8分，填写错误或多填、少填者均得0分，本题满分40分)： 1．已知集合M={x，xy，lg(xy)}及 N={0，|x|，y}，并且M=N，那么 (x+)+(x2+)+(x3+)+…+(x2001+)的值等于 ．α，α0}，B={(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|}。若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则α的值为 ． (青海供题) 3．若k是大于1的整数，α是x2－kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，α+α的个位数字总是7，则k的个位数字是 ．(河北供题) 4．现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，的三角形四个，边长为，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体．(江西供题) 5．五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定：⑴ 孪生兄妹不在同一组；⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，则k的最小值为 ．(命题组供题) 一九八七年全国高中数学联赛试题 第一试参考答案 一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)： 1．对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则( ) A．这样的a有无穷多个 B．这样的a存在，但只有有限个 C．这样的a不存在 D．以上A、B、C的结论都不正确 (上海供题) 解：(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k．取a=(3n4+9n2k+9k2)k，(k为任意正整数)，则n6+3a为正整数的立方，由于k可任意取值，且当k增大时，a也随之增大．即a有无数个．选A． 2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A．10 B．14 C．5 D．12 (天津供题) 解：设x≥3，y≤3，且x2+y2=25．满足要求的点构成直角坐标系中一段弧(图中粗线部分)．令x+y=k，则当直线经过点(4，3)时取得最大值7．即2x+2y≤14．选B． 3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中( ) A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n(2≤n+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D．每条直线至多通过一个有理点 (河南供题) 解：若直线斜率为k，则当k=0时直线经过x轴上所有有理点． 当k≠0时，直线方程为y=k(x－a)． 若k为有理数，则当x为有理数时，y为