空间向量运用--证明1.ppt

练习1 * 在立体几何证明中的应用 9.5.3空间向量 常见空间直角坐标系的建立 1、平行问题 D C B A D1 C1 B1 A1 例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD∥平面CB1D1 平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD 于是平面A1BD∥平面CB1D1 D C B A D1 C1 B1 A1 o z y x 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1，则向量 设平面BDA1的法向量为 则有 x+z=0 x+y=0 令x=1,则得方程组的解为 x=1 y=-1 z=-1 故平面BDA1的法向量为 同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ２、垂直问题 二、 用空间向量处理“垂直”问题 ↑ F E X Y Z 证明: 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a 。求证:面AEF?面ACF。 A F E C1 B1 A1 C B x z y A F E C1 B1 A1 C B z y 不防设 a =2，则A（0，0，0），B（?3 ，1，0），C（0，2，0），E（ ?3，1，2） ，F（0，2，4），AE=（ ?3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴?面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则 x { nAE=?3x+y+2z=0 nAF=2y+4z=0 ?{ x=0 y= -2z ? 令z=1得, n=（0，-2，1） 显然有m n=0，即，m?n 面AEF?面ACF 证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz ， A D C B ⑴求证：平面MNC⊥平面PBC； ⑵求点A到平面MNC的距离。 已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝ ，M、N分别是AD、PB的中点。 P M N *