浅谈运用微积分反例证明习题.doc

浅谈运用微积分反例证明习题 用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用满足命题的条件但是结论不成立的例证，就可以来否定这个命题，这就是反例证明法，即通过举出反例从而证明这个命题是错误的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决利用正面方法很难或者无法解决的数学证明。在微积分中就有大量的命题可以运用反例来证明，反例证明法不仅能帮助我们深入地理解有关该数学证明题的性质之外，还促进了我们的辨证思维方式的能力，最重要的是解题很快捷方便。 1连续、可导、可微问题 　　我对微积分中关于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系很模糊，在认真查过书上的概念之后我觉得可以通过运用适当的反例进行准确的辩证。同时也能培养与提高我们的辩证思维能力。 　　情形1 若函数f(x)在a连续， 则函数｜f(x)｜在a也连续，但其逆命题不成立。 　　反例：函数 f(x)=1，x =0 f(x)=-1，x0 　　虽然｜f(x)｜在x=0处连续， 但f(x)的一阶导数在x=0处不连续。 　　情形2 可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。 　　反例：函数f(x)=｜x｜+1，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，lim(x-0) f(x)=lim(x-0)｜x｜+1=1=f（0），所以f（x）在x=0连续；但极限[lim f(x)- f（0）］/x=1或-1不相等， 所以f(x)在x=0不可导。 　　情形3 函数f(x)在x=x0处可导， 则函数f(x)在x=x0的邻域内不一定连续。 反例：函数 f(x)=x，x为有理数时f(x)=0， x为无理数时f(x)=1， f(x) 在x=0处可导，但在0点的任何邻域， 除0点外都不连续。 　　情形4 f(x)在x=x0处可导， 则f(x)在x=x0处是否有连续导数？ 　　反例：函数f(x)=x* x cosx， 当x0=0， f（x）在x=0处可导， 但导数不连续。 事实上，f′（0）=[lim f(x)- f（0）］/x=0，即f(x)在x=0处可导，但当x≠0时， f′（x）=2xcosx-x* x sinx ， 极限f′（x）=2xcos-xsin=2xcosx+sinx在x=0处不等于0，即 f(x)的导数不连续。 　　综上归结，对一元函数f(x)在点x0可有：可微与可导是充要关系，可导推出连续但是连续不一定可导，连续必有极限，但是有极限不一定连续。通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系。 　　情形5 当f(x0)≠0时，由｜f(x)｜在x0可导不一定能推出f（x）在x0可导。 反例:函数f(x)= x， 当x∈[0，1] f(x)=-x， 当x∈[1，2]，而｜f(x)｜=x，所以当x∈[0，2]， 显然｜f(x)｜在x0=1处可导，但f(x)在x0=1处不可导。 情形6下面命题是否成立：若f（x）在（a，b）内可导，则在 （a，b）内必定存在ξ，使得f′（ξ）=（f（b）- f（a））/(b-a)吗？ 事实上，举出这样的反例：f(x)=x，x∈(0，1], f（x）=1,x=0易知该命题不成立，因为虽然f(x)在（0,1）内可导，但由于 f（1）- f（0）=0，而在（0，1）内f(x)的导数为1，所以在（0,1）内不存在ξ，使得f(ξ)的导数为0，这同时也证明了拉格朗日中值定理中德f(x)在（a,b）内可导的条件不可少。 2可积问题 　　情形7若函数f（x）在区间[a，b]上可积，则函数f（x）在区间[a，b]上也可积，且f（x）dx = f｜（x）｜dx，但其逆命题不成立，即当函数f（x）在区间[a，b]上可积时，函数f（x）在区间[a，b]上不一定可积。 反例：函数f(x)，x为有理数时f（x）=1 x为无理数时f（x）=-1 　　函数在[0，1]上不可积，而｜f(x)｜≡1，这是常函数，显然在[0，1]上可积。 　　 3结语 　　微积分中的反例有助于提高我们的数学逻辑思维能力,突出数学所表达的逆向思维以及体现了数学的严谨性.透彻理解命题、定理条件的充分性及必要性,为了分清条件的充分性与必要性使用恰当的反例是非常有好处的。反例对巩固和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。 　　在微积分的教学中，反例的试举已成为提高教学质量的重要的一环。另一方面：“反例教学”对培养我们的数学思维能力方面的作用也是显著的。它不仅有助于培养我们纵向思维能力，而且有助于培养和发展我们的横向思维能力，更有助于培养我们的数学技能，并使我们养成严格推理、全面分析问题的能力。