2011名校(华约、北约、卓越联盟等)自主招生试题解析.pdf

数学通讯 一 2011年第5期 (下半月) ·复习参考 · =2+3d=II，解得 d=3， 6541=…=7777．显然，所有四位数的和为(360／2) ’ ． ． 数列 {b}为2，5，8，11，8，5，2． ×7777=1399860． (2)S2k一1=Cl+C2+…+ 一1+。+Ck+1+… 点评 排列问题研究中，时常考察所排元素的 +C2k+1=2( + +1+…+C2k一1)一 ， 对称性，以求探询规律或简化运算． S2一1=一4(k一13)+4×13—50， 6 利用式子结构形式的对称 ． ‘． 当k=13时，S2一1取得最大值．S2^一l的最 例 10 (2004年江苏数学竞赛题)已知方程 大值为626． I 2士 ．．2= 组l{．。． 有唯一的一组解(z，，)，求实 (3)所有可能的 “对称数列”有四种形式，对每 z 中 j，十 z 种形式的数列分 ~2008，1500 ≤2007分别求 数m及原方程组的解 ． 解，限于篇幅，略． 解析 方程组是关于 x，对称的，若 x，Y，z) 点评 该题紧扣数列中项的对称特征，由特殊 是一组解，则(Y，X，)显然也是方程组的一组解．由 到一般，步步为营，前两问灵活考察了等差数列的通 方程组有唯一解知 =Y．故原方程组可化为 f，， 2= 项公式及前 项和公式，最后一问在第二问对项的 I{二厶 ． 消去 得2x+2x一n／=0．由A=0 对称理解的基础上，融人等比数列的考察，较好的渗 Z 十 z m ． 1 1 1 1 透分类讨论的思想．无论从知识考察的广度，还是思 得 =一号故原方程组的解是(一告，一寺，寺)． 维层次的深度，在本题中都有较好的体现． 点评 某些数学命题所涉及的数式呈现对称的 5 利用排列中元素位置的对称性 结构，若能围绕它展开联想性思维，则能帮助我们发 例9 (2007年山东高考模拟题)由数字 1，2， 现解题捷径． 3，4，5，6组成所有可能的没有重复数字的四位数， 总之，在数学解题中，我们要用对称的眼光去审 它们的和是— — ． 视问题，深入挖掘题中潜在的对称性，不仅为解决数 解析 本题容易使得解题者产生用列举法解题 学问题提供一种新的捷径，同时让学生体会数学的 的念头，由于合乎要求的四位数多达(6×5×4×3) 对称美．使学生在 “美”的情境中，激发学习兴趣，发 =360个，可见这种想法是行不通的． 展思维能力，增强创新意识． 通过观察我们发现，这列数从小到大依次是： 1234，1235，1236，…，6541，6542，6543．此数列具有 (收稿 日期：2010～l1—1O) 一 定的对称性：1234+6543=1235+6542：1236+ 2011名校(华约、北约、卓越联盟等)自主招生试题解析 范端喜