重积分习题课(参考).ppt

此课件为重积分的复习内容 三位同学可以各取所需，选择自己应该讲的内容。不要求全讲，但每人至少要准备十五分钟到二十分钟的内容。 可以参考之前的讲课课件 讲的内容不求多，但求精和有深度，讲就讲清楚。 讲完后允许同学和老师提问. Good luck! 习题课 一、重积分计算的基本方法 例1. 计算二重积分 (2) 积分域如图: (6) 不论是先对 x 积分 还是先对 y 积分 　　里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式, 而外层积分的上、下限是点的坐标. 且上限?下限. 称为从里到外、线—线; 点—点. 例1. x y 0 y=x y=x2 x 　　　　　　　为确定累次积分的上、下限. 作与y轴同向的射线, 从下至上穿过D. 则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的. 解: 先画区域D的图形. 法1. 先对y积分. 里层积分的下限为x2, 上限为x. 由于该射线变化范围是[0, 1]. 因此, 外层积分下限为0, 上限为1. 即 x y 0 y=x y=x2 1 1 法2. 先对 x 积分. 作与 x 轴同向射线, 从左至右穿过D. y 则 x 是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2. 即 故里层对 x 积分的下限为y, 上限为 而该射线的变化范围是[0, 1]. 故外层对 y 的积分下限为0, 上限为1. 例2. 解: 先画D的图形. 先对 x 积分. 作与 x 轴同向的射线穿过D. 易知, x 从左方曲线y=x2即 右方曲线 y=?x+2即 x=2? y. 而 y?[0, 1]. x y 0 y=?x+2 y=x2 1 1 2 故 所以, 原式 = 问, 若先对 y 积分, 情形怎样? x y 0 y=?x+2 y=x2 1 1 2 例3. 求 解：由于 是“积不出”的，怎么办？ 要改换积分次序. 先画积分区域D的图形. 由积分表达式知，D： y ? x ? 1, 0 ? y ? 1 画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1. 如图： 故 原式 = y x 0 D y = x 　　由例2，例3知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。 例4. 改换 解：写出D的表达式， 画 D 的图形 改为先对x再对y的积分 y x 0 D 2 4 例5. 关于分块函数在D上的积分. 其中D：0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 解：积分区域如图 记 f (x, y) = | y – x | = y–x, 当y ? x时, x–y, 当y x时, 且区域D1: y ? x和D2: y x分处在直线y=x的上，下方. 故，原式 = y x 0 1 1 D D2 y = x D1 注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。 y x 0 D2 1 1 y = x D1 D 在将二重积分化为二次积分的公式 右边的二次积分不是两个定积分之积， 计算时必须由 里至外，这当然较繁琐. 但在某些情形下，可将右端 化为两个定积分之积。 例6. 设D：a ? x ? b, c ? y ? d. f(x, y)=f1(x)·f2(y)可积， 则 y x 0 d c a b 比如， 只须要求里层积分 的被积函数f2(y)和 上、下限都与x无关即可。 关于利用对称性积分的问题 (1) 若D的图形关于x轴对称. (i) 若f (x, –y) = f (x, y), 其中点(x, –y) 与(x, y) 关于x轴对称， 即函数也关于x轴对称. y x 0 D2 D1 (ii) 若f (x, –y) = – f (x, y), (2) 若D的图形关于y轴对称. y x 0 D2 D1 (i) 若f (– x, y) = f ( x, y). 其中(– x, y)是 (x, y)的关于y轴的对称点. (ii) f (– x, y) = – f( x, y)，则 (3) 一般，若D关于平面上某直线l对称. y x 0 D2 y = x D1 对?(x, y)?D1，有关于l的对称点(x1, y1)?D2. 若f (x, y)= – f (x1, y1)，则 若f (x, y) = f (x1, y1). 例7. (1) 易知 y x 0 (x0, y0) (y0, x0) y= x y0 x0 2. 二重积分的换元法 考虑 若作变量代换x=g(u, v), y=?(u, v), 应如何计算作了变量代换后的二重积分？ 定理1. 设变换x=g(u, v), y= ?(u, v)时uov平面上的有　　　界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有　　　界闭区域D，且满足 若f (x, y)可积，则 (1) x=g(u, v), y=?