2010年高中数学联赛平面几何试题的朔源分析.pdf

2010 年高中数学联赛平面几何试题的朔源分析 唐松锦 卢建川 吴伟朝 (广州大学 数学与信息科学学院 ， 广东 广州 51006) 2010年全国高中数学联合竞赛试题（A卷）二试（题一）这样的：如图1，锐角三角形ABC的外心为O，K是边 BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK ⊥MN，则A、B、D、C四点共圆． 本文对此题的解法、来源及试题背景进行探讨，并给出了命题的变式和推广．现将此题答案给出如下： 证明：用反证法．若A、B、D、C不四点共圆，设⊿ABC的外接圆的半径为R，且与AD交于点E，连接BE并延长 交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ． 延长PK至点F，使得PK KF AK  KE ⑴ 则P、E、F、A四点共圆，故PFE PAE BCE A 从而E、C、F、K四点共圆，于是PK PF PE PC ⑵ ⑵⑴得：PK2 PE PC AK  KE O 2 2 2 2 B 因为在⊙O上，PE PC PO R ，AK  KE KO R K F E P C ∴PK2 PO2 R 2  KO2 R 2 D   Q M 同理 QK2 QO2 R2  KO2 R2 N   图 1 相减得到PK2 QK2 PO2 QO2 ∴OK  PQ ． 由题设，OK  MN ，所以PQ / /MN ，于是 AQ AP QN PM ① 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得 NB DE AQ   1 在⊿ADE中，BEQ为截线，BD EA QN ② MC DE AP   1 在⊿ADM中，PEC为截线CD EA PM ③ MC NB 由①，②，③可得CD BD MD ND 所以CD BD 故DMN ∽ DCB ，于是DMN DCB ，所以BC / /MN ，故OK  BC ， 即K 为BC 的中点，矛盾！从而A、B、D、C 四点共圆．