2虚位移原理和达朗伯原理.ppt

　 这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系，所有主动力的元功之和： 3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置的势能V =V(x1， y1， z1，...，xi ，yi，zi) =V(q1，q2，...，qk) 由理论力学知 (2.3.2) 将式(2.3.2)代入广义力的解析式(2.2.5)，得 　 三、以广义力表示的虚位移原理 当质点系平衡时，由虚位移原理： 由于δqa彼此独立，所以 即：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分条件是，系统的所有广义力都等于零。 可见：在保守系统中，广义力等于质点系的势能函数对相应广义坐标的偏导数并冠以负号。 　 例6：两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。 解：由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度。以θ为广义坐标，C1、C2距O点的垂直距离： 以过O点的水平面为零势面，则 系统的平衡条件为： 　 由此解出θ。 　 例7：图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦，求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。 解：系统具有2自由度。以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（B不动），此时δsC= δsA /2 　 （2）当sB改变δsB而δsA=0，此时δsC= δsB /2 系统平衡时有QA= QB=0 由QB= 0 得 W=2P 由QA= 0 得 F=W/2=P 　 例 图示摆，已知均质杆OA和AB的长度、重量分别为l1、 l2 、W1、 W2 ，并在B端作用一水平向右的力P，试计算摆的广义力。 解法一：用解析式(2.2.5)求解。 解 取j1、 j2为广义坐标 X1=W1x=0, Y1=W1y= W1； X2=W2x=0, Y2=W2y= W2； X3=Px=P, Y3= Py=0 　 X1=W1x=0, Y1=W1y= W1； X2=W2x=0, Y2=W2y= W2； X3=Px=P, Y3= Py=0 　 解法二：用式(2.2.6)求解 （1）令dj1≠0， dj2=0。则 dr1=0.5l1dj1 dr2= drB = drA =l1dj1 （2）令dj1=0， dj2≠ 0。则 dr1=0 dr2= 0.5l2 dj2 drB = l2dj2 　 　 若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置的势能V =V(x1， y1， z1，...，xi ，yi，zi) =V(q1，q2，...，qk) 代入虚功方程的解析式： 2.3 质点系在有势力作用下的平衡问题 由理论力学知 (2.3.2) 一、平衡条件 　 表明：在势力场中，具有完整定常约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：质点系势能的一阶等时变分等于零。 质点系平衡时有： 即： dV=0 表明：在势力场中，具有完整定常约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：质点系势能对广义坐标的一阶偏导数等于零。 势力场中的广义力称为广义有势力。 　 在保守系统中，从式(2.3.6)解出的就是质点系的平衡位置。但是在平衡位置上，平衡状态并不相同。设质点系原处于平衡状态，因受轻微扰动而偏离平衡位置，若此后质点系只在其平衡位置附近运动，这种平衡状态称为稳定平衡（下图a）。 二、平衡稳定性的概念 　 如果此后质点系远离平衡位置，则平衡是不稳定的，其中图（b）为不稳定平衡，图（c）为随遇平衡。 定理：若保守系统在平衡位置的势能为极小值，则其平衡是稳定的；若势能非极小值，则其平衡是不稳定的。 1.单自由度系统平衡稳定性质的判断方法 以q为广义坐标，由 求出平衡位置q0 　 则势能具有极小值，平衡是稳定的。 则势能具有极大值，平衡是不稳定的。 则要根据更高阶的导数来判断：若第一个非零导数是偶数阶且该导数为正，则势能具有极小值，平衡是稳定的；若该导数为负，则平衡是不稳定的；若各阶导数均为零，表明V为常量，平衡是随遇的 。 　 2.两自由度系统平衡稳定性质的判断方法 以q1、 q2为广义坐标，由 求出平衡位置q10、 q20 当q1= q10、 q2= q20时，若 (2.3.11) 　 势能具有极小值，平衡是稳定的。否则，平衡是不稳定的。 例 质量为m的小球M可在光滑半圆滑槽内滑动，滑槽半径R。试讨论小球平衡的稳定性。 解：系统为保守系统。取