机械振动第4章.ppt

则： 设 有： 上式表明： 则 则 七、约束对固有频率的影响 设原系统固有频率为 在原系统上增加一个约束（可用一个独立的 位移约束方程表达），新系统的固有频率 满足 （约束方程形式为 ） 连续施加 个约束后则有 或 例： 系统1 k k m m m 系统2 k k k m m m 对系统1： 对系统2： 系统3： k k m m m 八、无阻尼强迫振动 1. 求固有频率与主振型 求得 及 令 2. 坐标变换 从物理坐标变换到模态坐标 3. 求模态坐标下运动方程 4. 解主坐标方程 5. 返回物理坐标 例 m m k k 变换 又 时 故 则： 返回原坐标 九、阻尼系统强迫振动 1. 主坐标分析法要求 为对角矩阵 已证明 对角化的充要条件是 工程中矩阵 一般不满足此条件，为简化， 假定 即比例阻尼假定 则有： 2. 运算步骤 * * * * 解 求 ， 及 变换 主坐标运动方程 *解主坐标方程 *返回原坐标 展开： 从上式可求出n个实根 ，则对应 求得系统的n个固有频率 · · 为实数：因方程系数全为实数 （从而 ） M为正定矩阵， （ ） K为正定或半正定矩阵，（ ） 从 两边同乘 有 将 按从小到大排列，得系统n个固有频率 将 代入特征方程 可解得 ，注意上方程系数矩阵秩为 ， 即 不是唯一确定的，实际上对 ， 亦满足上方程，求解 时可预先给定一个分 量值来求其余n-1个分量，亦可用伴随矩阵求解。 令 则： 当 时 则 表明 的各列均可作为 ，求得： 称为系统主振型，主振型各分量不是唯一 的，允许相差一个常系数 确定 例： 代入 取 有 代入 ，求得 振型图 n自由度振动系统， 第k阶振型有k-1个 节点。 梁振型 板振型 龙洗振型 古钟振型 大厦振型 桥振型 井架振型 四、主振型的正交性 （1） （2） （1）-（2）有: 则： 当 时 则 代入(1)式： 定义: 模态质量 模态刚度 有: 模态刚度与模态质量不唯一，但其比值唯一， 正交关系可表示为 2. 主振型正交性物理意义 对每一主振动，其势能与动能之和为一 数，但在各阶主振型之间不会发生能量传递 常 设 3. 等固有频率系统（对称系统） ，与 对应振型为 则 仍为系统振型， 此时应适当选择系数a,b 值，使所得振型 保证正交关系成立，即应有 在至少两个方向上对称的系统存在等 频率，如正方形、圆形，汽轮叶片 固有 4. 半正定系统 对有刚体位移的系统，存在零固有频率， 称为半正定系统，与零固有频率对应的振型为 刚体位移，满足 （半正定系统 ） 例 M m m m 求对应 的振型 表明： 中可任意给定2个，实际上， 若 为m重特征值，则 的秩为n-m， 相应有m个振型，这m个振型中只有n-m个分量 是独立的，有m个分量可预先给定 对 I=2 ： 令 有 对 I=3 : 令 有 则 应正交化，方法如下： 令 有： 即为所求正交化后振型 5、振型归一化 方法1：按模态质量 归一化 设 M 令 则 M 相应有 称为正则振型，是唯一确定的。 方法2：按最大元素为1归一化 五、若干基本方程 令 ，频率矩阵 ，正则振型矩阵，则有： 1、特征方程 2、正交方程 M 3、 ， 4、 5、 六、参数变化对固有频率与振型影响 1. 固有频率灵敏度 前乘 有 差分形式 2. 振型灵敏度 令 前乘 对 ， 可从下式求 代入 有 思考：对存在等固有频率系统，上述公式 是否适用 例： 第四章 多自由度系统的振动  一、运动微分方程 写成矩阵形式 方程组中，每一个方程组的相应元素（M、C等），按X1/X2/X3的系数分别写在相应行。 一般 （对称性）  二、建立多自由度系统振动微分方程方法 1. 拉格朗日方程法