第三章 小振动.ppt

理论力学 第 三 章 本章主要内容 §1、小振动体系的运动方程 在平衡位置，即在q＝0 对V 作Taylor展开： 即Vab 组成的矩阵，是实对称的。 令 §2、小振动的解 或者写成： 这是一个本征值问题： 记为: 1、如果w 21 ＞0， 2、如果w21 ＝0， 对一个力学体系，如果得到w 2＝0， 已求出解： 即： 下面证明： 上式就是以前的正交关系。 弯曲空间中的元长度， §3、简正坐标 1、简正坐标的定义 两边同乘 由此得： 3、广义坐标之间的变换 由于动能的系数矩阵是正定的， 同理， 由此解出本征频率： 体系的某一简正坐标随时间变化， 体系的某一非简正坐标随时间变化， 4、系数矩阵为准对角化情形 相应的本征矢量为： §4、例题：耦合摆 同理得y2。 由于 系数矩阵： 4、求本征值 5、本征矢量 6、运动解： 8、不解本征方程，求本征频率和简正坐标 （2）x2＝－x1 , 所以得： §5、质点组的动能 本章主要内容 2个质量可以忽略，长度为l 的 刚性杆下端各固定一个质量为m的 质点，2质点间用自然长度d， 弹性系数k、无质量的弹簧连接。 求体系的小振动解。 解： m m x1 y1 x2 l l d 1、悬点光滑，两杆刚性，所以是理想约束。 进一步得：完整、稳定约束。 2、两杆自然下垂时为平衡位置，选为广义坐标的0点。 如图选取2个广义坐标，并对广义坐标编号。 3、求出V、T，从而得到2个系数矩阵 2悬点光滑，体系限于竖直平面。 m m x1 y1 x2 l l d 因为d 不是小量，这项出了根号后是4阶小量。 ∴ 所以， 相等 m m 0 0 ， k+mg/l -k 。 k+mg/l -k 相等 这里，需要注意： 和V1 、T0 、T1 （这3部分必然为0）。 （1）不必求V0（设为0）， （2）交叉项前的系数需要特别注意。 （3）先写系数矩阵的上三角，再根据对称性写下三角。 由 求出： w1 和w2 的序号是任意的， 但注意与本征矢量的对应关系。 把w12 代入求本征矢量的方程： 即： 这里，一定有一个方程是不独立的。 ∴ 取最简单的非0实数： b11= b21 =1. 同理求w22的本征矢量： b12=1，b22 = -1. 由体系的4个初始条件 这里，f1 、f2 ；w1 、w2 为任意常数， 确定。 7、简正坐标 从 得 ∴ 只对简单、对称体系适用。 （1）运动中使x2 ＝x1 ,这时弹簧完全 不起作用，运动与单摆相同。 m x1 l d m x2＝x1 l ∴ 这时，设u2＝x2－x1 ，则 u2＝0。 （2）x2＝－x1 ,这时弹簧完全 不起作用，运动与单摆相同。 这时，设u1＝x2＋x1 ，则 u1＝0。 m x1 l d m x2＝－x1 l 中点固定 这时，弹簧可以看作是中点固定的， 弹簧长度变为原来的一半， 因此，弹性系数变为2k。 或直接写运动方程： 由此解出 选u1、u2作广义坐标，当体系以w1 运动时，u2不动， 由此u2 一定以另一个频率w2 运动。 同样说明u1一定以另一个频率w1 运动。 * 小 振 动 §1、小振动体系的运动方程 §2、小振动的解 §5、质点组的动能 §4、例题：耦合摆 §3、简正坐标 一个由 n 个质点组成的 理想、完整、稳定约束力学体系， 主动力都是保守的。 日常生活中力学体系在平衡位置附近运动的例子： 桥梁、房屋、车辆、仪器等等。 s = d, 取 s 个广义坐标，使变换方程不显含t： xi= xi(q), i=1,2,…,3n. 取平衡位置为所有广义坐标的0点，即在平衡位置取为： 由于主动力都是保守的，它们可以用势 V(q) 来描述。 整个体系在平衡位置附近运动。 如果q的0点不取在平衡点，上式右边为： 忽略3阶和3阶以上的小量， 取 V(0)=0. 在平衡位置，即q＝0处用虚功原理: 当体系处于平衡时， 其中， 由于变换方程不显含t， 最后一步近似是因为：在平均意义上， 记为： 是同阶小量。 其中， ∴ 这个矩阵称为V 的系数矩阵， 动能写为： 正定是因为： 相应的Lagrange方程为： 也是实对称的，并且是正定的。 Tab ≡ aab (0) 这时必有： T＞0。 ∴ a =1,2,…,s. = Tba ， 这是关于s个广义坐标的2阶、齐次、线性微分方程组， 方程共s个。 就说明体系在运动， 不为0， 只要有 只有一个广义坐标时，前面的运动方程的解是振动解， 因此，对多个广义坐标时，仍用振动型的解做试探， 即，设方程的解为： 这里，解的实部为广义坐标的观测值。 把这 s 个解代入 s 个方程组，得： 写成矩阵形式： 如果 其中， 上式可以写为： 的线性、齐次方程组， 是 这是w 2的1元s次方程。 非0解的必要充分条件