点到直线的距离、有关直线的对称问题求解.doc

点到直线的距离、有关直线的对称问题及线性规划 同步教学练习 一、一周知识概述 本周主要学习点到直线的距离，有关直线的对称问题以及线性规则 二、重难点知识讲解 1、点到直线的距离 （1）点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C=0的距离 注意：运用本公式要把直线方程变为一般式 （2）两条平行线之间的距离 注意：运用此公式时要注意把两平行线方程 x、y前面的系数变为相同的. 例 1、过直线2x＋y＋8=0和直线x＋y＋3=0的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线x－y－5=0和x－y－2=0之间的线段长为，求该直线的方程. 解析： 　　由交点M（－5，2）． 　　设所求直线 l与l1、l2分别交于B、A两点， 　　由已知 |AB|=，又l1、l2间距离， 　　在 Rt△ABC中，． 　　设l1到l的角为α，则. 　　设直线 l的斜率为k，由夹角公式得 　　. 　　所求直线的方程为 2x＋y＋8=0或x＋2y＋1=0. 例 2、设x＋2y=1，求x2＋y2的最小值；若x≥0，y≥0，求x2＋y2的最大值. 解析： 　　欲求 x2＋y2的最小值，可利用代入法转化为关于x（或y）的二次三项式，然后利用函数求最值的方法处理，但考虑到x2＋y2的几何意义较明显，即表示P（x，y）到原点的距离，故可从这个角度入手处理本题. 　　如图所示，在直角坐标系中， x＋2y=1表示直线，记d2=x2＋y2，它表示直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线x＋2y=1的距离的平方即为所求的最小值，即. 　　　　 　　若 x≥0，y≥0，问题即为求线段AB上的点与原点距离平方的最大值，显然有. 2、直线中有关对称的问题 （1）点关于点对称问题通常利用中点坐标公式 点 P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为P（2a－x，2b－y） （2）直线关于点的对称直线通常用转移法来求或取特殊点 设 l的方程为：Ax＋By＋C=0（A2＋B2≠0）和点P（x0，y0），求l关于P点的对称直线方程.设P（x，y）是对称直线l上任意一点，它关于P（x0，y0）的对称点（2x0－x，2y0－y）在直线l上，代入得A（2x0－x）+B（2y0－y）＋C=0 （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P（x0，y0），l：Ax＋By＋C=0（A2＋B2≠0），若P关于l的对称点的坐标Q为（x，y），则l是PQ的垂直平分线，即①PQ⊥l；②PQ的中点在l上，解方程组可得 Q点的坐标 （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线对称或利用到角公式 例 3、求直线3x－y－4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程 解析： 　方法一： 　　设直线 l上任一点为（x，y），关于P（2，1）对称点（4－x，－2－y）在直线3x－y－4=0上. 　　∴ 3(4－x)－(－2－y)－4=0 　　∴ 3x－y－10=0 　　∴ 所求直线 l的方程3x－y－10=0 　方法二： 　　由直线 l与3x－y－4=0平行，故设直线l方程为3x－y＋b=0 　　由图所示，点 P到两直线距离相等，得 　　 　　解得： b=－10或b=－4（舍） 　　∴ 所求直线 l的方程3x－y－10=0 例 4、已知直线l1：2x＋y－4=0，求l1关于直线l：3x＋4y=1对称的直线l2的方程 解析： 　　由得l1与l的交点为P（3，－2），显见P也在l2上 　　设 l2的斜率为k，又l1的斜率为－2，l的斜率为－，则 　　 　　故 l2的直线方程为，即2x＋11y＋16=0 例 5、光线通过A（－2，4），经直线2x－y－7=0反射，若反射线通过点B（5，8）.求入射线和反射线所在直线的方程. 解析： 　　如图所示，已知直线 l：2x－y－7=0， 　　设光线 AC经l上点C反射为BC，则∠1=∠2． 　　再设 A关于l的对称点为A（a，b），则∠1=∠3， 　　∴ ∠2=∠3，则B，C，A三点共线. 　　　　 　　∵ AA⊥l且AA中点在l上， 　　∴ 　　解得 a=10，b=－2，即A（10，－2）. 　　∴ AB的方程为，即2x＋y－18=0. 　　∴ AB与l的交点为C（）． 　　∴ 入射线AC的方程为，即2x－11y＋48=0． 　　∴ 入射线方程为 2x－11y＋48=0，反射线方程为2x＋y－18=0. 3、简单的线性规划 （1）求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是： 　　①作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线 l 　　②平移——将 l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置 　　③求值——解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最