对数与对数函数,三角函数,和差化积公式及其推导过程.doc

08物理与电子信息科学学院 韦华 教案 lg2=0.3010 lg3 =0.4771 lg5=0.6990 lg7=0.8451 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:; ②正数的负分数指数幂: ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a0,b0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=axa10a1图象定义域R值域（0，+）性质（1）过定点（0，1）（2）当x0时，y1; x0时,0y1(2) 当x0时，0y1; x0时, y1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 （2）几种常见对数 对数形式特点记法一般对数底数为常用对数底数为10自然对数底数为e 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（）：①，②，③，④。 （2）对数的重要公式： ①换底公式：； ②。 （3）对数的运算法则： 如果，那么 ①； ②； ③； ④。 3、对数函数的图象与性质 图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，； 当时，（4）当时，； 当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该???线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 ∴0cd1ab. 两角和公式和差化积公式及其推导过程 一 和差化积公式 sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 、 cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 和差化积公式由积化和差公式变形得到， 积化和差公式是由正弦或余弦 的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。 推导过程： 二 推导过程 ： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ， sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 同理，把两式相减，得到： cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ， cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 把两式相加，得到： cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 同理，两式相减，得到 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 这样，得到了积化和差的四个公式: sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化 积的四个公式.我们把上述四个公式中的 α+β =θ, α-β = φ, 那 么 α=(θ+φ)/2， β=(θ-φ)/2 把 α, β 分别用 θ, φ 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 变形为 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-