直线倾斜角与斜率_2.pdf

直线倾斜角与斜率 通化市第一中学 史俊友 一、教材分析 ：本课是人教版数学必修 2 第三章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解 析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如 直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析 几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。 二、学情分析 ：两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有 点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念。 三、三维目标 知识与技能 ：理解直线的倾斜角和斜率概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式。 过程与方法： 1.在平面直角坐标系中，观察具体图形并结合动画演示，在探索描述直线的倾斜程度的几何要素中，抽象出直线倾斜角的概念， 明确倾斜角的取值范围。 2. 借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题，引出描述直线倾斜程度的直线斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，明确倾斜角 和斜率之间的关系。 情感态度价值观： 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生了解解析几何的“坐标法”思想和基本研究方法，进一步体会“数形结合” 的思想方法。 四、重难点 教学重点： 抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究发现过两点的直线的斜率公式。 教学难点： 倾斜角概念形成，斜率概念的理解。 五．教学过程 （一）导入 在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函 数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标 法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是 17 世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。我们先研究坐标平面内最简单的图形——直线。为此， 我们先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。 （二）探究新知 1．倾斜角概念 问题 1：如图 1，对于平面直角坐标系内的一直线 l ，你认为它的位置由哪些条件确定？ 问题 2：如图 2，在直角坐标系中，过点 P 的不同直线的区别在哪里？ 1 问题 3：在直角坐标系中，任何一条直线与 x 轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与 x 轴的相对倾斜程度呢？ 问题 4：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？ 问题 5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？ 2．斜率概念 引导性语言：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？ 问题 6：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？ 问题 7： （1）观察图 5，6，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？（ 2）观察图 7，坡 面与地平面所成的角不变的情况下， 升高量和前进量都在变化， 那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数 学式子来表示它们之间的关系？ 问题 8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角 α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻 画直线的倾斜程度？ 问题 9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？ 3．斜率公式 问题 10： 两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点 P1( x1 , y 1), P2( x2 , y2) （其中 x1 ≠x2 ）的坐标来表示，你能自己导出它们的关