5_4_频域：奈氏判据.ppt

自动控制原理 (频域分析部分) 航空航天学院 肖刚 第四章 控制系统的频域分析 5-1 频率特性 5-2 极坐标图 5-3 伯德图 5-4 奈奎斯特判据 5-5 频域稳态分析 5-6 频域动态分析 5-4 奈奎斯特判据 基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 一、预备知识——幅角定理 由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一 点，经过复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 5-4 奈奎斯特判据 令：s从 s1开始沿任一闭合路径Γs （不经过F(s)的零点和极 点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下： 零点(-Zi) 极点(-Pj) 1) –Zi在Γs外。 2) –Pj在Γs外。 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 。(顺时针 ) 2) –Pj在Γs内， 。(逆时针) 结论：若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点，则当s沿Γs顺时针方向旋转一圈时， F(s) 相角有变化（顺时针）： 5-4 奈奎斯特判据 幅角定理： F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数，正、负表示的旋转方向：逆时针为正，顺时针为负。 5-4 奈奎斯特判据 三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径 顺时针方向包围整个s 右半面。由于不能通过 F(s)的任何零、极点， 所以当F(s)有若干个极 点处于s平面虚轴（包 括原点）上时，则以 这些点为圆心，作半 径为无穷小的半圆， 按逆时针方向从右侧 绕过这些点。 5-4 奈奎斯特判据 2. 奈氏判据 设： ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。 5-4 奈奎斯特判据 （2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据 因1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 相差1，所以系统稳定性可表述为： 奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 5-4 奈奎斯特判据 a.若P=0，且 N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系统稳定； b.若P≠0，且N=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=P-N c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点分布在s平面的虚轴上。 5-4 奈奎斯特判据 例: 一系统开环传递函数为： 试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性 当 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右 半平面，即：P=1。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。 根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0所以系统稳定。 5-4 奈奎斯特判据 a. 当s=0是开环极点时，奈氏路径： s= - j0→+j0时，以原点为圆心，作 半径为 无穷小的半