12-1-常数项级数的概念和性质.pptVIP

无穷级数 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、收敛的必要条件 六、小结 因 进行拆项相消 这说明原级数收敛 , 其和为 (2) 这说明原级数收敛, 其和为 3 . (3) 的充要条件是: *五、柯西审敛原理 定理. 有 证: 设所给级数部分和数列为 因为 所以, 利用数列 的柯西审敛原理(第一章 第六节) 即得本定理的结论 . 例7. 解: 有 利用柯西审敛原理判别级数 当 n﹥N 时, 都有 由柯西审敛原理可知, 级数 常数项级数的基本概念 基本审敛法 思考题 * 无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第12章 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 第一节 第12章 教学目的与要求： 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念； 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件； 掌握几何级数(等比级数)的收敛性 重点： 无穷级数收敛、发散以及和的概念 几何级数(等比级数)的收敛性 一、问题的提出 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程 知 则小球运动的时间为 ( s ) 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 定义： 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项, 次相加, 简记为 部分和数列 级数的部分和 2. 级数的收敛与发散: 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 余项 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”． 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 播放 周长为 面积为 第 次分叉： 于是有 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）． 解 收敛 发散 发散 发散 综上 解 已知级数为等比级数， 解 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 例4. 判别级数 的敛散性 . 解: 故原级数收敛 , 其和为 解 等比级数 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证) 解 证明 类似地可以证明在级数前面加上（或去掉）有限项不影响级数的敛散性. 证明 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 例6.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数 发散 , 从而原级数发散 . 证明 级数收敛的必要条件: 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.必要条件不充分. 讨论 8项 4项 2项 2项 项 由性质4推论,调和级数发散. 例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和: 解: (1) 令 则 故 从而 这说明级数(1) 发散. * * * *